Аксиоматическое построение теории вероятности.

Введем поле J элементарных событий, т.е. множество событий для к-х определены вероятности. -пространство элементарных событий. J .

Аксиомы:

1) любому соответствует некоторое неотрицательное число P(A) (вероятность этого события), причем P(A) может быть - 0<=P(A)<=1;

2) P() = 1 – достоверное событие;

3) Аксиома сложения вероятностей: Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления 1 из 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B);m -A, m -B. m + m - число благопр. исходов или A или B.

P(A+B)= = + =P(A)+P(B).(из классического определения вероятности)

Вероятность появления одного из нескольких попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A +A +…+A )=P(A )+P(A )+…+P(A ).

Сумма вероятностей A , A ,…, A , образующих полную группу несовместных событий, всегда равна 1.

События называются полной группой if .

Условная вероятность. Вероятность наступления события А, зависящего от наступления события B называется условной вероятностью - P(A|B) = (P(B) 0). Если события независимы (P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B)), то их вероятности безусловные.

Теорема умножения вероятностей.

Произведение событий. (A*B) – совместное появление этих событий.

Вероятность совместного появления 2 событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную, предположив, что первое событие уже наступило. P(A*B)=P(A)*P (B|A) = P(B)*P(A|B). Для независимых событий P(A*B)=P(A)*P(B).

Вероятность появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

P(A , A ,…,A )=P(A )*P (A |A₁)+…+P (A |A₁A₂….A_n-1).

 

Случайная величина. Законы распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины: определение, свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий распределений: биноминального, Пуассона, нормального.

 

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (только одно), причем до опыта неизвестно, какое именно. Пространство её значений – вероятностное пространство С.В(случайной величины). Существуют 3 типа С.В.: дискретные, непрерывные, непрерывно-дискретные. Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное (счетное множество). Непрерывной - возможные значения к-й непрерывно заполняют некоторый интервал на числовой оси. Непрерывно-дискретная – С.В, значения к-й непрерывно заполняют отдельные интервалы на числовой оси.

Так же С.В. могут быть классифицированы:

a)скалярные(X), векторные(X1,X2,…,Xn).

б)действительные, комплексные.