Нечіткі множини. Операції над нечіткими множинами та їх властивості

Мабуть, найбільш вражаючим у людському інтелекті є здатність приймати правильні рішення в умовах неповної й нечіткої інформації. Побудова моделей наближених роздумів людини і використання їх у комп’ютерних системах є на сьогодні однією із найважливіших проблем науки.

Основи нечіткої логіки були закладені у кінці 60-их роках у роботах відомого американського математика Лафти Заде. Дослідження були пов’язані з наростаючим невдоволенням експертними системами. Хвалений “штучний інтелект”, який легко справлявся із задачами управління складних технічних комплексів, був безпорадний при найпростіших висловленнях повсякденного життя, наприклад, “Якщо в машині перед тобою сидить недосвідчений водій — тримайся від нього подалі”. Для створення дійсно інтелектуальних систем, здатних адекватно взаємодіяти з людиною, був необхідний новий математичний апарат, який би перекладав неоднозначні життєві твердження мовою чітких та формальних математичних формул. Першим серйозним кроком у цьому напрямі стала теорія нечітких множин, розроблена Заде. Його робота “Fuzzy Sets”, опублікована у 1965 році у журналі “Information and Control”, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності людини й стала початковим поштовхом до розвитку нової математичної теорії. Він же і дав назву цій новій галузі науки – “fuzzy logic” (fuzzy – нечіткий, розмитий, м’який). Подальші роботи професора Латфи Заде та його послідовників заклали фундамент для впровадження методів нечіткого управління в інженерну практику.

Апарат теорії нечітких множин, продемонструвавши низку багатообіцяних можливостей застосування – від систем управління літальними апаратами до прогнозування підсумків виборів, виявився разом з тим складним для втілення. Враховуючи наявний рівень технології, нечітка логіка зайняла своїє місце серед інших спеціальних наукових дисциплін – посередині між експертними системами й нейронними мережами.

Своє друге народження теорія нечіткої логіки пережила на початку 80-их років, коли декілька груп дослідників (США і Японії) серйозно зайнялися створенням електронних систем різного застосування, використовуючи нечіткі управляючі алгоритми. Теоретичні основи для цього були закладені у ранніх роботах Коско та інших вчених.

Третій період почався з кінця 80-их років і до цього часу. Цей період характеризується бумом практичного застосування теорії нечіткої логіки у різних сферах науки та техніки. До 90-го року з’явилося біля 40 патентів, що належали до нечіткої логіки (30 – японських). 48 японських компаній створюють лабораторію LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японський уряд фінансує 5-річну програму з нечіткої логіки, яка включає 19 проектів – від системи оцінки глобального забруднення атмосфери і передбачення землетрусів до АСУ заводських цехів. Результатом виконання цієї програми була поява нових масових мікрочіпів, що базувалися на нечіткій логіці. Сьогодні їх можна знайти у пральних машинах та відеокамерах, цехах заводів і у моторах автомобілів, у системах управління складськими роботами й бойовими гелікоптерами.

У США розвиток нечіткої логіки йде по шляху створення системи для великого бізнесу і військових. Нечітка логіка застосовується в аналізі нових ринків, біржевій грі, оцінці політичних рейтингів, виборі оптимальної цінової стратегії та ін. З’явилися і комерційні системи масового застосування. Це привело до низки проблем, а саме:

§ нові архітектури комп’ютерів для нечітких обчислювань;

§ елементна база нечітких комп’ютерів та контролерів;

§ інструментальні засоби розробки;

§ інженерні методи розрахунку й розроблення нечітких систем управління і т.д.

Нехай Е є множина, А – підмножина Е: . Той факт, що елемент належить множині А позначають . Для вираження цієї належності можна використати й інше поняття – характеристичну функцію – , значення якої вказує, чи належить множині А.

Приклад. Розглянемо скінченну множину з 5 елементів

та .

Запишемо для кожного елемента із Е степінь його належності множині А

.

Це дозволяє представити А через всі елементи множини У, супроводжуючи кожний з них значенням його функції належності:

.

Отже, нехай – універсальна множина, , а – деяка властивість. Звичайна (чітка) підмножина універсальної множини , елементи котрого задовольняють властивість , визначаються як множина впорядкованої пари , де – характеристична функція, що приймає значення 1, коли задовільняє властивість , і 0 – в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайної тим, що для елементів немає однозначної відповіді “ні” відносно властивості . У зв’язку з цим, нечітка підмножина універсальної множини визначається як множина впорядкованої пари , де – характеристична функція належності (або просто функція належності), що набуває значення на деякій впорядкованій множині (наприклад, – на інтервалі).

Функція належності вказує степінь (або рівень) належності елемента до підмножини . Множину називають множиною належності. Якщо , тоді нечітка підмножина може розглядатись як звичайна або чітка множина.

Строге визначення поняття нечіткої множини, введене Заде.

Нехай Е є множина, скнченна або ні, й x – елемент Е. Тоді нечіткою підмножиною А множини Е називається множина впорядкованих пар , де – ступінь належності x в А.

Таким чином, якщо приймає свої значення у множині М значень функції належності або у множині належності, то можна сказати що x приймає значення в М за допомогою функції . Ця функція називається функцією належності.

Приклад

Нечітка підмножина чисел x, приблизно рівних даному дійсному числові n, де ( – множина дійсних чисел).

Розглянемо множину усіх чисел від 0 до 10. Визначимо підмножину множини усіх дійсних чисел від 5 до 8, коли

.

Покажемо функцію належності множини , ця функція ставить у відповідність число 1 або 0 кожному елементу в , залежно від того, належить цей елемент підмножині або ні. Результат покажемо на рисунку (рис. 1.5.1):

Рис. 1.5.1. Графічне зображення результату функції належності

Можна інтерпретувати елементи, що відповідають 1 як елементи, котрі знаходяться у множині , а елементи, що відповідають 0, як елементи, котрі не знаходяться у множині . Така концепція використовується у багатьох областях. Але існують ситуації, в яких цій концепції не вистачає гнучкості.

У цьому прикладі опишемо множину людей. Формально це можна записати так: .

Оскільки, взагалі, вік починається з 0, то нижня границя цієї множини повинна бути нулем. Верхню границю визначити складніше. Спочатку встановимо верхню границю, наприклад, рівну 20 рокам. Таким чином, маємо В як чітко визначений інтервал, буквально . Виникає питання: чому хтось у свій двадцятилітній юбілей – молодий, а зразу на наступний день уже не молодий? Очевидно, це структурна проблема, і якщо пересунути верхню границю в іншу точку, то можна задавати таке саме запитання.

Більш природний шлях створення множини В полягає в послабленні строгого поділу на молодих і на немолодих. Зробимо це, формулюючи не тільки чіткі судження “Так, він належить множині молодих людей” або “Ні, вона не належить множині молодих людей”, але й гнучкі формулювання, наприклад: “Так, належить множині доволі молодих людей”, “Ні, він не дуже старий”.

Розглянемо, як за допомогою нечіткої множини визначити вираз “Він ще молодий”.

У першому прикладі ми кодували всі елементи множини за допомогою 0 або 1. Простим способом узагальнити цю концепцію є введення значень між 0 та 1. Реально можна навіть допустити нескінченне число значень між 0 та 1, в одиничному інтервалі .

Інтерпретація чисел при співвідношенні всіх елементів множини стає тепер складнішою. Звичайно, число 1 відповідає елементу, що належить множині В, а 0 означає, що елемент точно не належить множині В. Усі інші значення визначають степінь належності до множини В. Для наочності покажемо характеристичну функцію множини молодих людей, як і в першому прикладі (рис. 1.5.2).

Рис. 1.5.2. Характеристична функція

Нехай E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A – нечітка множина, для якої

(x1)=0,3; (x2)=0; (x3)=1; (x4)=0,5; (x5)=0,9.

Тоді A можна представити у вигляді:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } або

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5 (знак “+” є операцією не додавання, а об’єднання) або