Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Логічні операції над множинами та їх властивості. Тотожні перетворення виразівСтр 1 из 19Следующая ⇒
Множину можна також визначити за допомогою операцій над іншими множинами. Нехай маємо дві множини А і В. Об’єднання (сума) А È В є множина всіх елементів, що належать А та В. Наприклад, {1, 2, 3} È {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Для наочного зображення співвідношень між множинами будь-якого універсума U використовують круги Ейлера. Зазвичай універсум подають множиною точок прямокутника, а його підмножини зображають у вигляді кругів або інших простих областей усередині цього прямокутника. Об’єднання зображується таким чином (рис. 1.2.1): Рис. 1.2.1. Об’єднання (сума) А È В Перетин (добуток) А Ç В є множиною всіх елементів, що належать одночасно як А, так і В (рис. 1.2.2). Наприклад, {1, 2, 3} Ç {2, 3, 4} = {2, 3}. Рис. 1.2.2. Перетин (добуток) А Ç В Множини, які не мають спільних елементів, називаються різночленними або неперетинаючими А Ç В = Æ (рис. 2.3). Рис. 1.2.3. Перетин (добуток) А Ç В= Æ Різниця А \ В (чи А - В) є множиною, котра складається з усіх елементів А, що не входять у В (рис. 1.2.4). Наприклад, {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}. Рис. 1.2.4. Різниця А \ В Її можна розглядати як відносне доповнення В до А. Якщо А Ì В, то множина U\A називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) множини A і позначається через . Вона містить усі елементи універсума U, крім елементів множини А (рис. 1.2.5). Рис. 1.2.5. Доповнення Доповнення А визначається запереченням властивості P(x), за допомогою якої визначається А. Очевидно, А \ В = А Ç (рис. 1.2.6). Рис. 1.2.6. Різниця А \ В = А Ç , при А Ì В Диз’юктивна сума (симетрична різниця) А+В (чи АÅВ) є множиною всіх елементів, що належать або А або В (але не обом одразу) (рис. 1.2.7). Наприклад, {1, 2, 3} + {2, 3, 4} = {1, 4}. Рис. 1.2.7. Сума А + В Диз’юктивну суму одержуємо об’єднанням елементів множин, за винятком тих, які трапляються двічі. Властивості операцій над множинами. Комутативний закон для об’єднання і перетину множин А È В= В È А; А Ç В= В Ç А. Асоціативний закон для об’єднання та перетину множин А È (В È С)=(А È В) È С; А Ç (В Ç С)=(А Ç В) Ç С. Дистрибутивний закон для об’єднання і перетину множин А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С); А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С). Властивості пустої множини та універсума відносно об’єднання
А ÈÆ = А; А È = U; А È U = U; =U. Властивості пустої множини та універсума відносно перетину А Ç U = A; А Ç = Æ; А ÈÆ = А; = Æ. Закон ідемпотентності для об’єднання і перетину множин А È А = А; А Ç А = А. Закон поглинання А È (А Ç В) = А; А Ç (А È В) = А. Теорема де Моргана ; . Наступні властивості: 1) Якщо А È В = U і А Ç В = Æ, то В= ; 2) = U \ А; 3) =А; 4) А \ В=А Ç В; 5) А+В =(А Ç ) È ( Ç В); 6) А+В =В+А; 7) А+В+С =А +(В+С); 8) А+ Æ = Æ +А = А; 9) А Ì В, тоді й тільки тоді, якщо А Ç В=А, або А È В=В, або А Ç = Æ; 10) А=В, тоді та тільки тоді, якщо (А Ç ) È ( Ç В)= Æ. Ми розглядали операції над множинами і їх властивості (закони операцій). Усі ці закони можна довести. Є різні способи доведення. 1. Доведення цих тотожностей за допомогою відношення належності Приклад. Довести дистрибутивний закон А È (В ÇС)=(А È В) Ç(А È С). Доведення Уважатимемо, що x Î А È (В Ç С), тоді x Î А або x Î (В Ç С). Якщо x Î А, то x належить об’єднанню з А з будь-якою множиною, тобто x Î А È В і x Î А È С; із цього слідує, що x є елементом перетину множин А È В і А È С, тобто x Î (А È В) Ç(А È С). Якщо x Î В Ç С, то x Î В і x Î С, а значить, x Î А È В і x Î А È С, тобто x є елементом перетину тих же множин. Таким чином, доведено, що А È (В Ç С)Ì(А È В) Ç(А È С). Аналогічно доводимо і відношення А È (В Ç С)É(А È В) Ç(А È С). Згідно з визначенням рівності множин маємо потрібну тотожність А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С). 2. Доведення тотожностей за допомогою кругів Ейлера Приклад.Довести дистрибутивний закон А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С) за допомогою кругів Ейлера. Доведення. Проілюструємо за допомогою кругів Ейлера спочатку ліву частину тотожності, виконавши спочатку об’єднання множин В і С, а потім перетин з А. Потім побудуємо діаграму для правої частини тотожності (рис. 1.2.8).
Рис. 1.2.8. Доведення тотожності А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С) за допомогою кругів Ейлера Як бачимо, діаграми збігаються, отже, тотожність доведена.
3. За допомогою тотожних перетворень Приклад. Довести, що А È А = А. Доведення А È А = (А È А) Ç U= (А È А) Ç (А È )= А È (А Ç ) = А ÈÆ = А. З комутативності та асоціативності операцій об’єднання слідує, що об’єднання декількох множин можна виконати послідовно, об’єднуючи ці множини, причому порядок слідування множин не впливає на результат. Так, для множин А, В, С можна записати А È В È С=(А È В) È С=(В È С) È А. Отже, сукупність множин можна позначити відношенням . Теж саме можна записати і для перетину сукупності множин . Тотожні перетворення. Алгебра множин являє собою теоретико-множинний аналог звичайної алгебри дійсних чисел та основана на властивостях операцій над множинами. За допомогою тотожних перетворень можна спрощувати або перетворювати у зручний вигляд вирази, що містять множини, при цьому застосовують властивості операцій. Приклад 1. Виконати тотожні перетворення. Приклад 2 .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 628; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.202.221 (0.012 с.) |