Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Рассмотрим уранение: .
- соответствующее однородное уравнение,
- характеристическое уравнение,
.
.
Для определения вида частного решения неоднородного уравнения заметим, что его правая часть имеет вид: , где . Так как число 0 не является характеристическим числом, то частное решение следует искать в виде полинома второй степени.
,
где - неопределенные коэффициенты.
Для определения их подставим в исходное уравнение и приравняем сумму правых частей полученных равентсв правой части исходного уравнения. Будем иметь:
.
2. Найти общее решение уравнения: .
- соответствующее однородное уравнение,
- характеристическое уравнение,
,
.
Найдем частное решение исходного уравнения. Его правая часть есть полином, т.е. . Число 0 - является корнем характеристического уравнения. Так как этот корень простой, то частное решение следует искать в виде:
.
Далее, как в примере 1, находим: , , .
- следовательно, общим решением уравнения будет:
.
Контрольная работа №1
В задачах 1.1 – 1.35:
а) вычислить определитель матрицы;
б) найти обратную матрицу. Проверить полученный результат.
1.1.
|
| 1.2.
|
| 1.3.
|
| 1.4.
|
| 1.5.
|
| 1.6.
|
| 1.7.
|
| 1.8.
|
| 1.9.
|
| 1.10.
|
| 1.11.
|
| 1.12.
|
| 1.13.
|
| 1.14.
|
| 1.15.
|
| 1.16.
|
| 1.17.
|
| 1.18.
|
| 1.19.
|
| 1.20.
|
| 1.21.
|
| 1.22.
|
| 1.23.
|
| 1.24.
|
| 1.25.
|
| 1.26.
|
| 1.27.
|
| 1.28.
|
| 1.29.
|
| 1.30.
|
| 1.31.
|
| 1.32.
|
| 1.33.
|
| 1.34.
|
| 1.35.
|
|
|
|
2.1.
| . Найти: .
| 2.2.
| .Найти .
| 2.3.
| Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: .
| 2.4.
| Найти , если .
| 2.5.
| Найти,если.
| 2.6.
| .Найти .
| 2.7.
| Найти синус угла между векторами: .
| 2.8.
| Найти объем тетраэдра с вершинами:
.
| 2.9.
| Найти длину вектора , если .
| 2.10.
| Вычислить , если .
| 2.11.
| Вычислить скалярное произведение векторов , если , .
| 2.12.
| Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника и , вычислить углы этого треугольника.
| 2.13.
| Зная одну из вершин треугольника и , найти остальные вершины и сторону .
| 2.14.
| Вычислить площадь , если , , .
| 2.15.
| Проверить лежат ли в одной плоскости точки , , , . И вычислить площадь треугольника .
| 2.16.
| Найти длину вектора , если длина вектора равна 2, а длина вектора равна 3, а угол между нами равен .
| 2.17.
| Определить угол треугольника с вершинами , , .
| 2.18.
| Найти , если .
| 2.19.
| Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .
| 2.20.
| Найти внешний угол при вершине треугольника , если , .
| 2.21.
| Компланарны ли векторы ?
| 2.22.
| Лежат ли в одной плоскости точки ?
| 2.23.
| Вычислить площадь треугольника , если .
| 2.24.
| Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если .
| 2.25.
| При каком значении векторы и взаимно перпендикулярна?
| 2.26.
| Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
и .
| 2.27.
| Найти объем тетраэдра с вершинами: и .
| 2.28.
| Найти если векторы и .
| 2.29.
| Найти и угол между ними, если , .
| 2.30.
| Найти орт , перпендикулярный векторам и .
| 2.31.
| Векторы , а вектор образует с ними угол . Длина . Найти .
| 2.32.
| Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
| 2.33.
| Взаимно перпендикулярны ли диагонали , если , .
| 2.34.
| Найти , если .
| 2.35.
| Найти орт вектора .
|
3.1.
| А) Вычислить угол между прямой и прямой, проходящей через точки и .
| Б)Найти угол между радиусами окружности , проведенными в точку пересечения ее с осью .
| 3.2.
| А)Через точку провести прямую параллельно прямой
| Б)Уравнение параболы преобразовать к каноническому виду и изобразить ее.
| 3.3.
| А) Найти уравнение высоты треугольника , если известны координатыего вершины: , .
| Б) Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через точку .
| 3.4.
| А) Выяснить взаимное расположение прямых , .
| Б)Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом , если ее эксцентриситет равен .
| 3.5.
| А) Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой , если .
| Б) Окружность касается оси в точке и проходит через точку . Написать ее уравнение.
| 3.6.
| А)Найти расстояние от точки до прямой .
| Б) Найти каноническое уравнение кривой второго порядка, построить эту кривую, ее вершины и фокусы, если известно: .
| 3.7.
| А) Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и .
| Б)Написать уравнение окружности, проходящей через точки , .
| 3.8.
| А) Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану к стороне , если ; .
| Б) Найти координаты центра и радиуса окружности .
| 3.9.
| А) Найти уравнение прямой, проходящей через точку и удаленной на 7 единиц от начала координат.
| Б) Составить каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет которого 0,5, а фокусы лежат на оси .
| 3.10.
| А) Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точку и .
| Б) На параболе найти точки, расстояния которых до фокуса равны 13.
| 3.11.
| А) Найти расстояние между параллельными прямыми и .
| Б)На параболе найти точку, расстояние от которой до фокуса 4,5 ед.
| 3.12.
| А) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей угол с прямой .
| Б) Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
| 3.13.
| А) Треугольник задан координатами вершин , , . Составить уравнение средней линии параллельной стороне .
| Б)Составить уравнение касательной к окружности в точке .
| 3.14.
| А) Через середину отрезка провести прямую, параллельную прямой , если , .
| Б) Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол .
| 3.15.
| А) Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.
| Б) Найти расстояние между точками пересечения гипербол и .
| 3.16.
| А)Найти проекцию точки на прямую .
| Б) Сумма полуосей гиперболы равна 17, эксцентриситет . Написать каноническое уравнение гиперболы и найти ее фокусы.
|
3.17.
| А) Две стороны прямоугольника лежат на координатных осях, а одна из вершин . Составить уравнения сторон прямоугольника.
| Б)Даны точки и . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок .
| 3.18.
| А) Найти основание перпендикуляра, проведенного из точки к прямой .
| Б) Гипербола, проходящая через точку , симметрична относительно осей координат. Найти расстояние от левого фокуса до точки .
| 3.19.
| А) Найти точку , симметричную точке относительно прямой .
| Б) Окружность касается оси в точке и проходит через точку . Написать ее уравнение.
| 3.20.
| А) Найти острый угол между прямой, проходящей через точку и и прямой .
| Б) Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы , если известно, что эллипс проходит через точку .
| 3.21.
| А) Зная уравнения двух сторон параллелограмма и и одну из его вершин составить уравнения двух сторон.
| Б)Эксцентриситет гиперболы равен , а фокусы и . Составить уравнение гиперболы и ее асимптот.
| 3.22.
| А)Найти точку , симметричную точке относительно прямой .
| Б) Найти центр, оси, вершины, эксцентриситет и асимптоты гиперболы .
| 3.23.
| А) Найти прямую, проходящую через точку и отсекающую от одного из координатных углов треугольник площадью 4 кв.ед.
| Б) Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояния одного из фокусов от концов большой оси равны 5 и 1.
| 3.24.
| А) На прямой найти точку, равноудаленную от точек и .
| Б) Написать уравнение параболы, проходящей через точки и симметричной относительно оси .
| 3.25.
| А) Зная уравнения двух сторон ромба , и одну из вершин . Найти уравнения двух других сторон.
| Б)Найти расстояние фокуса гиперболы от ее асимптот и угол между асимптотами.
| 3.26.
| А) Составить уравнения прямых, отстоящих от точки на расстоянии 3 единицы и параллельных прямой .
| Б) Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки и .
| 3.27.
| А) Найти уравнения прямых, параллельных прямой и проходящих от нее на расстоянии 2 ед.
| Б) Для равносторонней гиперболы, один из фокусов который находится в точке . Написать уравнение сопряженной гиперболы.
| 3.28.
| А) Найти уравнение прямой, проходящей через точку и удаленной от начала координат на расстояние 5 ед.
| Б) Парабола с вершиной в точке проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее уравнение, найти фокус и директрису.
| 3.29.
| А) Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку прямой , заключенного между осями координат.
| Б) Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 6, а расстояние между фокусами – 8. Написать уравнение сопряженной гиперболы.
| 3.30.
| А) Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки и .
| Б)Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
| 3.31.
| А) Написать уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника , параллельно медиане, проходящей через вершину , если и .
| Б) Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси , проходит через точку и . Написать его уравнение и найти фокусы.
| 3.32.
| А) Даны вершины прямого угла равнобедренного треугольника и его гипотенуза . Найти уравнения катетов.
| Б) Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом , если ее эксцентриситет равен .
| 3.33.
| А) Найти длину отрезка, перпендикулярного прямым , и заключенного между ними.
| Б) Написать уравнение окружности, проходящей через точки , , .
|
3.34.
| А) Диагонали ромба равны 3 и 8 единиц. Написать уравнение его сторон, если большая диагональ лежит на оси , а меньшая на оси .
| Б) На параболе найти точки, расстояние которых до фокуса равны 13.
| 3.35.
| А) Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и .
| Б) Уравнение параболы преобразовать к каноническому виду и изобразить ее.
|
В задачах 4.1.- 4.35. найти пределы.
|