Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
VII. Дифференциальные уравнения
Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово “обыкновенные” будем опускать). В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде: (7.1) при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общим решением дифференциального уравнения (7.1) -го порядка называется такое его решение: (7.2) которое является фукцией переменной и произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними). Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных . К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
Дифференциальные уравнения первого порядка v Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде: (7.3) или в виде: (7.4) где - некоторые функции переменной ; - функции переменной . Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Пример 1. Решить уравнение. Решение. ; ; ; ; ; ; . v Однородные дифференциальные уравнения. Диффернциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представленно в виде:
(7.5) где - некоторая функция (одной переменной). Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным и ), если для произвольного числа выполняется равенство: (7.6) Однородные уравнения при помощи подстановки приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Пример. Решить уравнение: . Решение. Так как , то уравнение имеет вид (7.5) при . Положим , отсюда и . Подставим в преобразованное уравнение: , . Получим уравнение с разделяющимися переменными: , . Интегрируя почленно последнее равенство, получаем: , , . Возвращаясь к первоначальным переменным, получим: , откуда . v Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид: (7.7) где и - некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным. Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения: будем искать решение в виде , тем самым искомыми становятся функции и , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения (7.7). Т.е. используется в решении замена . Пример. Решить уравнение: . Решение. Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению: . Пусть , , тогда уравнение примет вид: или . Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными. или откуда . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и . При исходное уравнение обратится в уравнение: или . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем: .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 266; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.51.191 (0.012 с.) |