Средняя арифметическая и ее математические свойства

 

Средняя арифметическая, как было указано выше, является наиболее распространенной в статистике.

Средняя арифметическая – это такая средняя величина, которая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака всех единиц.

Среднюю арифметическую исчисляют путем деления общего объема признака всех единиц совокупности на общее число единиц.

Среднюю арифметическую как и другие виды других исчисляют в форме простой и взвешенной.

Среднюю арифметическую простую определяют путем суммирования значений признака всех единиц наблюдения и деления этой суммы на число единиц наблюдения:

 

Пример: имеются данные о месячной заработной плате 20 рабочих, тыс. тенге:

№ рабочих	Месячная заработная плата (х)	№ рабочих	Месячная заработная плата (х)

 

Средняя арифметическая простая определяется следующим образом:

 

тыс. тенге.

 

При практических расчетах общая сумма признака бывает известной заранее, например, фонд заработной платы, объем изготовленной продукции, в этом случае отпадает необходимость суммирования, общий объем признака делится на число единиц наблюдения.

Если одинаковые значения признака, вариант встречается многократно, то числитель отношения определяется путем умножения значений признака на количество встречающихся одинаковых значений, называемых частотами или весами, и суммирования этих произведений.

Процесс умножения значений вариант на частоты (веса) называется взвешиванием.

Исчисленная на основе этого взвешивания и деления полученных произведений на общую сумму частот средняя арифметическая, называемая взвешенной, будет по числовому значению равна средней арифметической, определенной по формуле средней простой.

Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

где f – частоты (веса).

Определим по условиям предыдущего примера среднюю арифметическую по формуле средней временной. Для этого ранжируем данные о заработной плате и подсчитаем частоты:

 

Месячная заработная плата, тыс. тг. х	Частоты f
Всего

 

тыс. тенге.

Зачастую расчету средней арифметической предшествует сводная обработка и группировка исходных данных и получение рядов распределения. Если ряд распределения является дискретным, то порядок расчета будет такой же, что и приведен выше. Если же вариационный ряд распределения является интервальным, то предварительно определяют для каждой группы среднее значение интервала как полусумму нижней и верхней границы интервала и эти значения принимают за величины вариант. При этом исходят из предположения, что внутри интервала значения признака распределены более – менее равномерно. Дальнейший расчет такой же, как и выше.

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, имеющих практическое значение при проведении расчетов средней по данным вариационного ряда.

Математические свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант и их частот:

2. Если от каждой варианты вычесть какое-либо постоянное число, то новая средняя уменьшится на это же число:

.

 

Достоверность этого утверждения проверим на примере: имеется интервальный ряд распределения рабочих предприятия по уровню производительности труда. Предварительно определим середины интервалов каждой группы и затем расчеты вместе с исходными данными изложим в табличном виде (см. табл. 7.1).

 

Таблица 7.1.

Расчет средней арифметической обычным способом и с учетом уменьшения вариант

 

№ групп	Группы рабочих по уровню производительности труда, тыс. тг.	Число рабочих чел. f	x	xf	x-A (A=180 тыс.тг.)	(x-А) f
	70-90				-100	-2000
	90-110				-80	-3200
	110-130				-60	-3900
	130-150				-40	-3200
	150-170				-20	-2000
	170-190
	190-210
	210-230
	230-250
	250-270
	270-290
	Итого				194,0

 

Вычислим среднюю арифметическую по типовой методике:

тыс. тг.

Вычислить новую среднюю , обозначив ее :

тыс. тг.

Исходная средняя будет равна:

тыс. тг.

3. Если к каждой варианте прибавить какое-либо постоянное число, то новая средняя увеличится на это же число:

4. Если каждую варианту разделить на какое-либо постоянное число, то новая средняя уменьшится во столько же раз:

Правильность этого свойства проверим на основе данных выше- произведенного примера. Расчеты изложим в таблице 7.2.

 

Таблица 7.2.

Расчет средней из сокращенных вариант

x	f	x:A (А=20 тыс. тг.)

 

тыс. тг.

Отсюда 9,7х20=194,0 тыс. тг.

5. Если каждую варианту умножить на какое-либо постоянное число, то новая средняя увеличится во столько же раз:

.

6. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо постоянное число, то средняя арифметическая от этого не изменится:

7. Сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равна нулю:

8. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений вариант от любой другой величины:

где

Использование математических свойств средней арифметической

поваляет упростить ее вычисление.

Способ расчета средней арифметической с применением ее свойств называется методом «моментов». Для этого, используя второе и четвертое свойство, заменим исходную переменную, варианты, обозначаемые через х, на другую переменную, которую можно обозначить . Величину новой переменной определим следующим образом: , где A и i произвольно взятые числа, но с учетом конкретных условий. После этого исчислим среднюю из новых вариант - , которую в теории называют моментом первого порядка и обозначают а затем осуществляют на основе математических свойств переход к исходной средней арифметической - . Переход к осуществляется следующим образом:

Для упрощения расчетов можно использовать также свойство по сокращению частот и вместо f исчислить , где Б является общим наибольшим делителем для всех частот.

Исчислим среднюю арифметическую методом моментов по данным примера, условие которого приведено в таблице 7.1.

Исходя из данных таблиц удобнее всего принять А равным 180, I = 20 (величина интервала) и Б=5. Решение представим в таблице 7.3.

Таблица 7.3.