Алгоритм интегрирования методом замены переменной.

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 14.Вычисление неопределенного интеграла с помощью замены переменной
	,		,
	,		,
	,		,
	,		,
	,		,

Задание 15. Найти неопределенные интегралы, выполнив интегрирование по частям.

Алгоритм:

1. Проанализируем формулу интегрирования по частям: .

(по этой формуле нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла

, применение формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного); разобьем выражение под знаком интеграла на сомножители и : , - в нечетных вариантах, или - в четных вариантах; вычислим : ;

2. Вычислим по одной из трех формул

, , ;

в правую часть формулы интегрирования по частям подставим полученные выражения для (предварительно, положив С=0) и ; в правой части формулы интегрирования по частям получим интеграл, который может быть вычислен по одной из трех формул, представленных в п. 4.

Алгоритм нахождения интеграла методом интегрирования по частям.

1. Представить подынтегральное выражение в виде произведения .

2. Найти и .

3. Применить формулу интегрирования по частям .

4. Найти интеграл .

5. Подставить результат в найденное в алгоритме (3) выражение.

Примечание.

I. Следует полагать

Следует полагать

Следует полагать

II. Следует полагать

.Следует полагать .

. Следует полагать .

(где через обозначен многочлен).

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 15. Найти неопределенные интегралы, выполнив интегрирование по частям

Задание 16. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Алгоритм нахождения определённого интеграла по формуле Ньютона - Лейбница.

1. Найти одну из первообразных функции .

2. Вычислить значение первообразной в точках и .

3. Вычислить значение определённого интеграла по формуле: .

Алгоритм

1) определим абсциссы точек пересечения заданных линий , решив систему уравнений;

2) выполним рисунок криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями;

3) выберем из двух заданных функций ту, значения которой для всех будут не меньше, чем значения другой функции, обозначим эту функцию через , оставшуюся функцию обозначим ;

4) воспользуемся формулой для вычисления площади криволинейной трапеции ;

5) под знаком интеграла приведем подобные члены и найдем неопределенный интеграл (семейство первообразных );

6) вычислим площадь криволинейной трапеции, для чего воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница .