Свойства постоянной функции.

I. Теоретическая часть.

1. Функция. Определения и свойства.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или .

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа , называется квадратичной.

Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости

Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции - парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:

Свойства функции:

1. D(у)=R.

2. Множество значений одного из промежутков: или .

3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле: .

4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .

Показательная функция.

Функция вида , где называется показательной функцией.

Коэффициент а - положительное число, указывает на возрастание или убывание функции.

Свойства функции:

1. Д(у)=R.

2. Е(у)= .

3. Функция возрастает (а>1), убывает (а<1) на всей области определения.

4. График функции пересекает ось ординат в точке (0;1).

5. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируема и производная равна .

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида

Число а определяет расположение графика.

Вместо логарифмической функции с произвольным основанием удобно рассматривать функцию вида .

Так как , то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Свойства функции у=ln x.

1. Д(у)= .

2. Е(у)=R.

3. Функция принимает нулевое значение при х=1.

4. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция является непрерывной на всей области определения, дифференцируема и .

Степенная функция

Степенной функцией с действительным показателем называется функция вида , где b-действительное число, х>0.

Примеры степенных функций: .

Коэффициент b определяет положение графика на координатной плоскости.

Свойства функции.

1. Функция определена для х>0.

2. Е(у)= .

3. Функция возрастающая, если b>0 и убывающая, если b<0.

4. Функция непрерывна на всей области определения, дифференцируемая и .

 

2. Основные элементарные функции. Определения, формулы, свойства, графики.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

 

 

3. Построение графиков элементарных функций.

 

1. Об элементарных приемах построения графиков:

а) приемы, связанные с применением геометрических преобразований плоскости (параллельный перенос, симметрия, деформация);б) приемы построения графиков кусочных функции, т.е. функций, заданных различными формулами на разных участках области определения, например, функция: в) приемы так называемого «сложения» графиков функций.

Рекомендуем предварительно повторить теоретический материал, связанный с указанными знаниями, затем разобрать примеры, приведенные в данном параграфе, и только после этого приступить к выполнению предложенных упражнений. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x соответствует определенное значение y. Множество всех тех значений, которые принимает аргумент x функции y = f (x), называется областью определения этой функции. Множество всех тех значений, которые принимает сама функция y = f (x), называется областью значений (изменения) этой функции. Функция y = f (x) называется четной, если при всех значений x из области определения этой функции f (-x) = f (x). Функция y = f (x) называется нечетной, если при всех значений x из области определения этой функции f (-x) = -f (x). Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента из данного промежутка большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.Функция y = f (x) называется периодической, с периодом T, где T ≠ 0, если значение функции не изменяется при прибавлении числа T к любому допустимому значению аргумента: f (x+T) = f (x). Функция y = f (x) называется ограниченной, если можно указать такое положительное число M, что |f (x)| ≤ M для всех значений x из области определения функции. Если же точка M не существует, то функция называется неограниченной. Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых (x, f (x)). Функцию вида y = ax² + bx + c называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Точку с координатами называют вершиной параболы. Соответствие между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу множества X сопоставляется не более одного элемента Y, называется функцией. Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:

1) множество X (которое называется областью определения функции);2) множество Y (которое называется областью значений функции);3) закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).

При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания. Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается исходя из данной формулы).Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.

 

способы построения графиков функций.

1. Способ «по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями.

2. Способ «путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат». Чтобы построить график функции y = f (x) + c можно или график функции y = f (x) сдвинуть вдоль оси 0y на c единиц в сторону, совпадающую со знаком c, или перенести параллельно ось 0y в сторону, противоположную знаку c. Чтобы построить график функции y = f (x + b), можно или график функции y = f (x) вдоль оси 0x на b единиц в сторону, противоположную знаку b, или перенести параллельно ось 0y в сторону, совпадающую со знаком b.

3. Способ «путем симметричного отображения относительно осей координат». Чтобы построить график функции y = -f (x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x) относительно оси абсцисс. Чтобы построить график функции y = f (-x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x) относительно оси ординат.

4. Способ «путем деформирования графиков основных функций». Чтобы построить график функции y = af (x) при a > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси ординат, если a > 1 (0 < a < 1).Чтобы построить график функции y = f (b ∙ x) при b > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси абсцисс, если b > 1 (0 < b < 1).

 

 

4. Предел числовой последовательности.

 

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности, если для любого существует номер , зависящий от такой, что для любого выполняется неравенство .

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые ирациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Определение

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

 

5. Предел функции в точке и в бесконечности.

 

Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве и точку , быть может, и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой –окрестности точки имеются точки множества значений аргумента , отличные от . Рассмотрим вопрос о сходимости соответствующей последовательности значений функции .

Существуют два определения Предела функции в точке.

Определение

Число называется Предельным значением функции в точке (или Пределом функции при X® A), если для любой сходящейся к А Последовательности значений аргумента , элементы которой отличны от , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: .

Отметим, что функция может иметь в точке только Одно предельное значение. Это вытекает из того, что последовательность может иметь только один предел.

Рассмотрим несколько Примеров.

1. Функция Имеет в точке предел, равный –2. Действительно, пусть – любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т. е. , тогда при в силу теорем о свойствах сходящихся последовательностей:

.

2. Функция определена для всех . В точке эта функция не имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю:

и .

Соответствующие последовательности значений функций для них:

.

Таким образом, Определение 1 не удовлетворяется, так как для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.

 

6. Бесконечно малые функции и их свойства.

 

Если , то функция называется бесконечно малой при .

Свойства

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Пусть бесконечно малые функции при . Тогда существуют числа и число такие что
(1)
что влечет за собой условия
(2).
Если , то условие усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Так как функция ограничена, то для удовлетворяющих условию
(1)
существует число
(2)
Так как функция бесконечно малая, то существует некоторая окрестность и число
для которых выполняются условия
(3)
и
(4)
Выберем . Тогда условие более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
Следовательно

3. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при

Доказательство
Так как любая бесконечно малая функция при будет ограничена в некоторой окрестности точки , то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

 

 

7. Основные теоремы о пределах функции.

 

Определение. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x ₀(иногда говорят, при x, стремящемся к x ₀), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d - окрестности точки x ₀соответствующие значения y попадают в e - окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Определение. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x ₀, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < ê x - x ₀ê < d, выполняется условие ê y - A ê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f (x) в точке x = x ₀, записывается формулой

.

Свойства предела функции

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C - постоянная функция.

3. Если существует и C - постоянная функция, то

.

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный .

Примеры

1. 3-2+7=8.

2. (применить четвертое свойство (для частного) нельзя, т.к. предел знаменателя при x 2 равен нулю; в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида ; для ее раскрытия раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители) = . Аналогичный приём вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

3. (домножим и разделим дробь на выражение сопряженное числителю) =(в числители разность квадратов) = = = - = .

 

 

8. Первый и второй замечательные пределы, их следствия.

 

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями.

Таблица простейших неопределённых интегралов

1. , где , (2.7)

2. , где , (2.8)

3. , (2.9)

4. , где , , (2.10)

5. , (2.11)

6. , (2.12)

7. , (2.13)

8. , (2.14)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Формулы (2.7) – (2.16) простейших неопределённых интегралов следует выучить наизусть. Знание их необходимо, но далеко не достаточно для того, чтобы научиться интегрировать. Устойчивые навыки в интегрировании достигаются только решением достаточно большого числа задач (обычно порядка 150 – 200 примеров различных типов).

 

37. Рациональные дроби. Основные понятия. Разложение рациональной дроби на простейшие.

 

Торема Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

,

где , , , , , , , , , , , , , , – некоторые действительные числа.

Без доказательства.

Согласно данному разложению, линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби первого и второго типов, а квадратным множителям – третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя .

Пример. Разложить на элементарные дроби

Решение. Выделим из неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель

.

Разложим полученную в результате дробь на элементарные слагаемые:

.

Тогда .

Для нахождения коэффициентов разложения, чаще всего используется метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем.

▪ Раскладываем правильную рациональную дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

▪ Простейшие дроби приводим к общему знаменателю .

▪ Многочлен, получившийся в числителе, приравниваем к многочлену .

▪ Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов были равны. Учитывая это, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов , , …, , , , …, , , , …, , , , …., .

 

 

38. Интегрирование простейших рациональных дробей.

 

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам

 

39. Интегрирование тригонометрических выражений.

 

Рациональные функции. Условимся через обозна­чать рациональную функцию относительно , , ,..., т. е. выраже­ние, которое получено из любых величин , , ,..., а также действи­тельных чисел с помощью четырех арифметических действий.

Интегралы вида. Универсальная подстановка.

Будем рассматривать интегралы вида при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, ис­пользовав тригонометрические формулы, применить методы «под­ведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Заметим, что в интегральном исчислении нет общих правил. Интегрирование может быть выполнено не единственным способом. Но даже и тогда, когда имеется теоретическое правило вычисления интеграла, оно может оказаться далеко не лучшим.

Для вычисления интегралов вида существует общая уни­версальная схема вычисления, основанная на универсальной триго­нометрической подстановке . Этой подстановкой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции перемен­ной , который, как было показано, всегда выражается в элементар­ных функциях.

Действительно, пусть . Выразим , и через :

,

,

, .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо , и их значения, выраженные через переменную , имеем

.

Подынтегральная функция рациональна относительно . Заметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида