Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие о методе наименьших квадратов ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Пусть проводится серия из опытов. Результатами наблюдений являются численные значения некоторой величины. Поставим задачу: представить приближенным способом измеряемую величину в виде линейной комбинации известных (базисных) функций – , , , так, чтобы полученная зависимость согласовывалась с результатами наблюдений «наилучшим образом». Словосочетание «наилучшим образом» будет далее пояснено. Итак, будем искать зависимость в виде
где коэффициенты подлежат определению. В общем случае в силу ошибок в измерениях при проведении опытов или «несовершенства» выбранной системы функций , , возможно лишь выполнение приближенных равенств
Сформируем разности между левыми и правыми частями приближенных равенств (6.14)
Очевидно, если бы удалось подобрать систему функций идеальным образом, а результаты измерений были бы точны, то вектор , называемый вектором невязки, состоял бы из нулевых элементов и его длина была бы минимально возможной (равной нулю). Теперь мы можем уточнить, что следует понимать под приближением «наилучшим образом» зависимости посредством линейной комбинации базисных функций . Будем требовать, чтобы длина вектора , которая вычисляется по формуле
была минимально возможной для данной системы функций , . Мы можем «управлять» длиной вектора , выбирая коэффициенты . Далее вместо длины вектора нам удобнее будет пользоваться квадратом длины, который в соответствии с равенствами (6.15) и (6.16) есть
Ясно, что если минимален, то и выбор коэффициентов , наилучший в указанном выше смысле. Будем рассматривать правую часть равенства (6.17) как функцию переменных, в роли которых выступают коэффициенты , . Тогда необходимое условие экстремума функции состоит в обращении в ноль частных производных, т.е.
Дифференцируя правую часть формулы (6.17) по переменным , , как сложную функцию и приравнивая полученные частные производные нулю, приходим к равенствам: , , ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Сокращая на 2 обе части полученных равенств и записывая их в компактной форме, получаем систему Раскрывая скобки и перенося известные величины в правые части, в итоге получаем систему, которая называется системой нормальных уравнений:
Заметим, что система (6.19) получена из необходимых условий экстремума функции переменных. Можно доказать, что в точке -мерного пространства, которая является решением системы (6.19), выполняются достаточные условия наличия минимума функции , однако, ввиду громоздкости выкладок, мы этот вопрос здесь не рассматриваем. Рассмотренный метод нахождения наилучшего в указанном смысле приближения к неизвестной функциональной зависимости , если задана система базисных функций , основанный на нахождении решения системы уравнений (6.19), называется методом наименьших квадратов.
|
|||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 187; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.89.47 (0.007 с.) |