Формализация процесса функционирования сети на базе q-схем

Формализация реаль­ной системы как системы очередей предполагает построение структуры такой системы. В качестве элементов структуры Q-схемследует рассматривать элементы трех типов: И — источники; Н — накопи­тели; К — каналы обслуживания заявок.

Как известно, Q-схемуможно считать заданной, если определены:

потоки событий (входящие потоки заявок для каждого накопителя и потоки обслуживаний для каждого канала);

структура системы (число фаз, число накопителей и каналов обслуживания в каждой из фаз обслуживания заявок и связи между ними;

алго­ритмы функционирования системы (дисциплины ожидания заявок в накопителях и выбора их на обслуживание в каналы, правила ухода заявок из Н и К).

Структура технологической цепочки прокатки полос представлена шестифазной стохастической сетью (рис.1.8).

При моделировании систем, формализуемых в виде Q-схем, часто возникают задачи имитации потоков заявок с некоторыми ограничениями, позволяющими упростить как математическое описание, так и программную реализацию генераторов потоков заявок [2].

Имитация моментов появления заявок в ординарном и стационарном потоке с ограниченным последействием включает в себя следующие операции:

из последовательности случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0;1), выбирается случайная величина и формируется первый интервал у₁ с помощью соотношения Пальма

;

момент на­ступления первого события определяется как ;

моменты появления следующих событий определяются выражениями

, где у_к — случайная величина с плотностью f(у).

Предполагая, что интервалы между листами, поступающими из цеха горячей прокатки, подчиняются экспоненциальному распределению, процедура генерации заявок должна включать последовательность следующих операций:

разыгрывание случайного числа по равномерному закону распределения в интервале (0,1);

преобразование равномерного закона распределения случайного числа в экспоненциальный закон распределения с помощью соотношения:

 

; (2.1)

 

определение момента времени поступления заявки в Q-схему по формуле:

 

. (2.2)

 

При моделировании СМО технология машинной ими­тации процесса функционирования ее зависит от структуры схемы, особенностей построения

моделирующего алгоритма и принятого принципа изменения модельного времени.

Известно, что существует два основных принципа построения моделирующих алгоритмов: принцип «» и принцип «». При построении моделирующего алгоритма Q-схемыпо принципу «», т. е. алгоритма с детерминированным шагом, необходимо определить минимальный интервал времени между сосед­ними событиями (во входящих потоках и потоках обслуживаний) и принять шаг моделирования равным .

В моделирующих алгоритмах, построенных по принципу «»,т. е. в алгоритмах со случайным шагом, элементы Q-схемыпро­сматриваются при моделирова­нии только в моменты особых состояний (в моменты появления заявок из источников или изменения состо­яний каналов). При этом длительность шага зависит как от особенностей самой системы, так и от входных воздействий. Моделирующие алгоритмы со случайным шагом реализуют синхронным и асинхронным способами. При синхрон­ном способе один из элементов Q-схемы(И, Н или К) выбирается в качестве ведущего и по нему «синхронизируется» весь процесс моделирования. При асинхронном способе построения моделиру­ющего алгоритма ведущий (синхронизирующий) элемент не исполь­зуется, а очередному шагу моделирования (просмотру элементов Q-схемы ) может соответствовать любое особое состояние всего множества элементов схемы. При этом просмотр элементов Q-схемыорганизован так, что при каждом шаге либо циклически просматриваются все элементы, либо спорадически — только те, которые могут в этом случае изменить свое состояние [2].

Для программной имитации воспользуемся наиболее экономичным из них, т.е. асинхронным спорадическим моделирующим алгоритмом, реализация, которого базируется на принципе построения алгоритма со случайным шагом (по особым состояниям) и легко может быть реализована в системе моделирования GPSS World.

Структура конкретной СМО общего вида (рис. 1.8) представляет собой шестифазную Q-схему (L^ф = 6) с блокировкой каналов по вы­ходу в 2-й, 4-й и 5-й фазах обслужи­вания. Выходящими потоками такой Q-схемы являются: поток потерянных заявок из H₁ и поток обслуженных заявок из К_6,1, (N1 и N6 на рис. 1.8).

Для имитационной модели данной Q-схемы можно записать следу­ющие переменные и уравнения:

зависимая переменная Q - вероятность обслуживания заявок;

независимые переменные: t_m — время появления очередной заявки из источника; - время окончания обслуживания j - м каналом k – той фазы, k=1,…,6; j=1,…, 20;

вспомогательные переменные: z_i и z_{k, j} - состояния H_i и K_k,j, i=1,…,6; k=1,…,6; j=1,…, 20;

параметры: L_i - емкость i -ro Н_i; —число каналов в к- тойфазе;

переменные состояния: N₁ — число потерянных заявок в H1; N6 — число обслуженных заявок, т. е. вышедших из 6 -й фазы;

уравнение модели:

 

. (2.3)

 

При имитации процесса функционирования Q-схемытребуется организовать массив состояний. В этом массиве должны быть выделены:

подмассив каналов для запоминания текущих значений состояний соответствующих каналов и времени окончания обслужива­ния очередной заявки ;

подмассив накопителей для записи текущих значений состояний z_i соответствующих накопителей Н_i, i=1,…,6;

подмассив источников, в который записывается время поступления очередной заявки t_m из источника.

Процедура моделирования процесса обслуживания каждым эле­ментарным каналом сводится к следующему.

Путем обращения к генератору случайных чисел с законом распределения, соответст­вующим обслуживанию данных,определяется длительность обслуживания и вычисляется время окончания обслуживания t_k,j, а затем фиксируется состояние ;при освобождении канала состояние ; в случае блокировки каналазаписывается . При поступ­лении заявки в Н_i к его содержимому добавляется единица, т. е. , а при уходе заявки из Н_i, на обслуживание вычитается единица, т. е. , i=1,…,6.

Процедура обслуживания заявок каналами фаз сети будет состоять из последовательности трех операций:

разыгрывание случайного числа по равномерному закону распределения в интервале (0,1);

преобразование равномерного закона распределения случайного числа в требуемый закон распределения с помощью соотношений:

для участков травления и отжига

 

, ;

 

для участка сварки и участка прокатки

 

, ;

 

для участка правки и раскроя

 

;

 

определение момента времени окончания обслуживания заявки, поступившей в канал заявки по формуле:

 

. (2.2)