Определение доходов по опциону

При построении модели цены опциона на покупку акции для од­ного периода будем исходить из условия, что цена акции в сле­дующем периоде может принимать только два значения (биноми­альная модель цены опционов). Практически это означает выделе­ние двух будущих состояний экономики. Определим доходы по опциону в каждом будущем состоянии экономики.

Допустим, в следующем периоде акция, которая сейчас продает­ся по цене , будет продаваться при наступлении одного состояния экономики, характеризующегося благоприятным уровнем рыноч­ной конъюнктуры, по цене , а при наступлении второго состоя­ния, характеризующегося менее благоприятным уровнем этой конъюнктуры, по цене , причем > . Величины а и b - это темпы роста цены акции при наступлении первого или соответст­венного второго состояния экономики а > b. Часто рассматривают случай, когда b < 1 < а. Это означает, что в одном будущем состоянии экономики предполагается рост цены, а во втором - ее сокращение.

В настоящий период имеется возможность выпустить или ку­пить облигации на сумму, которую обозначим через у, при условии ее погашения в следующем периоде под ставку процента, которую обозначим через . Риск облигаций равен 0. При этом b < 1+ < а.

Если бы темпы роста курса акции в обоих состояниях экономи­ки были больше 1+ , то покупка акций на капитал, вырученный от выпуска облигаций, принесла бы положительную прибыль при лю­бом состоянии экономики. Никто не захотел бы покупать облига­ции. Если бы 1+ была больше указанных темпов роста цен, то инвестор, вложив свой капитал в облигации, с гарантией получил бы больший доход, чем от инвестиций в акции. Никто не захотел бы покупать акции.

Представим себе опцион покупателя на рассматриваемую акцию с ценой исполнения , срок которого истекает через один период. Пусть С - стоимость опциона в момент 0. Наша цель - рассчитать величину С в состоянии рыночного равновесия. Начнем с того, что определим доход по опциону в каждом состоянии экономики в бу­дущий период. Этот доход будет зависеть от будущей цены акции.

Пусть - доход по опциону при наступлении 1-го будущего состояния экономики, т.е. в том случае, если цена акции достигнет . Тогда, учитывая, что если цена акции в будущем периоде мень­ше цены исполнения по опциону, то его исполнять невыгодно, по­лучаем:

Аналогично пусть - доход по опциону в том случае, если це­на к этому времени снизится до . Тогда, учитывая условия испол­нения опциона, имеем:

Представленные формулы позволяют определить доход по оп­циону в каждом из двух выделенных будущих состоянии экономики.

На основе оценки этих доходов построим модель определения цены опциона в условиях рыночного равновесия.

Контрольное задание

5. Поясните определение доходов по опциону в условиях двух будущих состоянии экономики при условии, что текущая цена ак­ции составляет 120 руб., темп роста цены в одном состоянии эко­номики составит 1,6, а во втором - 0,8.