Построение регрессионной модели и её интерпретация

Будем использовать алгоритм пошагового регрессионного анализа с последовательным исключением незначимых регрессоров, пока все входящие в регрессионную модель факторы не будут иметь значимые коэффициенты.

I ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включены все факторные признаки (X₆, X₁₃, X_14, Х₁₅).

Необходимо проверить значимость уравнения регрессии и полученных коэффициентов регрессии.

F _кр = 2,578739

Так как наблюдаемое значение F -статистики превосходит ее критическое значение 4,60955774 > 2,578739, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора β=(β₁,β₂,β₃,β₄)^T значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу .

Проверку значимости регрессионных коэффициентов проводят на основе t -статистики для уровня значимости .

Получаем t_кр = 2,014103

Для β_0, β_1, β2 и β₃ наблюдаемое значение t -статистики больше критического по модулю. Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для оставшегося значения наблюдаемое значение t -статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. – β₄ незначим.

Значимость регрессионных коэффициентов проверяют и следующие столбцы результирующей таблицы:

Столбец p -значение показывает значимость параметров модели граничным 5%-ым уровнем, т.е. если p ≤0,05, то соответствующий коэффициент считается значимым, если p >0,05, то незначимым.

И последние столбцы – нижние 95% и верхние 95% и нижние 98% и верхние 98% -это интервальные оценки регрессионных коэффициентов с заданными уровнями надёжности для γ= 0,95 (выдаётся всегда) и γ= 0,98 (выдаётся при установке соответствующей дополнительной надёжности).

Если нижние и верхние границы имеют одинаковый знак (ноль не входит в доверительный интервал), то соответствующий коэффициент регрессии считается значимым, в противном случае – незначимым..

Таким образом для коэффициентов β_0, β_1, β2 и β₃ p- значение не превышает0,05 и доверительный интервал не включает ноль, т.е. по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

В случае, когда при оценке регрессии выявлено несколько незначимых коэффициентов, первым из уравнения регрессии исключается регрессор, для которого t -статистика () минимальна по модулю.

 

II ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включены факторные признаки X₆, X_13, Х₁₄, исключён X15.

F _кр = 2,806845

Так как наблюдаемое значение F -статистики превосходит ее критическое значение, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, хотя бы один элемент вектора β=(β₁,β₂,β₃,β₄)^T значимо отличается от нуля.

t_кр = 2,012896

Для всех β наблюдаемое значение t -статистики больше критического по модулю, а также для всех коэффициентов p- значение не превышают0,05 и доверительный интервал не включает ноль, т.е. по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

III ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включен факторный признак Y, Х6, X₁₃,Х_14, аисключён X_15,

F _кр = 4,038392.

t_кр = 2,009575.

Окончательная оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид: = 3,09685344436198+ 4,347427313х1+ 0,0000552011501518525х2+ 0,290599647270874х3

Для значимых коэффициентов регрессии можно найти с заданной доверительной вероятностью γ интервальные оценки.

Как уже обсуждалось выше, доверительные интервалы для регрессионных коэффициентов выдаются Excel в последних столбцах таблицы результатов – нижние 95% и верхние 95% и нижние 98% и верхние 98% -с заданными уровнями надёжности для γ= 0,95 (выдаётся всегда) и γ= 0,98 (выдаётся при установке соответствующей дополнительной надёжности).

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	3,0968534	0,8298495	3,7318255	0,000521	1,4264531	4,76725	1,426453	4,767254
Переменная X 1	4,3474273	1,564254	2,7792336	0,007865	1,1987473	7,49611	1,198747	7,496107
Переменная X 2	5,52E-05	1,173E-05	4,7077532	2,33E-05	3,16E-05	7,9E-05	3,16E-05	7,88E-05
Переменная X 3	0,2905996	0,0944372	3,0771725	0,003515	0,1005074	0,48069	0,100507	0,480692

 

Интерпретация результатов

 

Величина R² характеризует долю общей дисперсии зависимой переменной, обусловленную воздействием объясняющих переменных. Т.о. около 50,1% производительности труда (Y) объясняется вариацией факторов «удельный вес покупных изделий»(Х6), «среднегодовым фондом заработной платы»(Х13), «фондовооруженность труда» (Х14), а 49,9% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель далеко не идеально отражает исследуемый процесс. Коэффициент регрессии показывает среднюю величину изменения зависимой переменной Y при изменении объясняющей переменной X на единицу собственного изменения. Знак при коэффициенте указывает направление этого изменения.

Коэффициент регрессии при X6 показывает, что при росте удельного веса покупных изделий на единицу производительность труда Y в среднем уменьшается на 35,3 единиц.

Построенная выше интервальная оценка показывает, что с вероятностью 0,95 при росте удельного веса покупных изделий на единицу уменьшение производительность труда будет в пределах от 41,757до 133,68 единиц.