Построение матрицы парных коэффициентов корреляции

Парные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между двумя выбранными переменными на фоне действия остальных показателей и являются самыми распространёнными показателями тесноты связи при статистическом анализе данных.

В таблице 2.1 представлена матрица коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей.

Табл.2.1

Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

	Y1	X6	X13	X14	X15
Y1		0,353248	0,577299	0,334637	-0,204204
X6	0,353248		0,175528	-0,09352	-0,048944
X13	0,577299	0,175528		0,077981	-0,166761
X14	0,334637	-0,09352	0,077981		-0,250172
X15	-0,204204	-0,048944	-0,166761	-0,250172

 

Мы учитываем, что матрица является симметричной и коэффициенты r_ij=r_ji.. в итоге мы получаем матрицу парных коэффициентов корреляции размерности k×k (в нашем случае 5×5).

Теперь необходимо проверить значимость полученных коэффициентов корреляции, т.е. гипотезу H₀: ρ =0. Для этого мы рассчитываем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов и строим матрицу наблюдаемыx значений t -статистик для всех коэффициентов r_ij (таб.2.2). Наблюдаемые значения t -статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости α =0,05 и числа степеней свободы ν=n -2=48. Получаем tкр= 2,010634722.

Таблица 2.2

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

t_набл	Y1	X6	X13	X14	X15
Y1		2,61603014	4,89832698	2,460275111	-1,44522
X6	2,616030139		1,23527195	-0,650777663	-0,339501
X13	4,898326979	1,23527195		0,541918442	-1,171762
X14	2,460275111	-0,6507777	0,54191844		-1,790167
X15	-1,445219973	-0,3395009	-1,17176187	-1,790167253

Если наблюдаемое значение t-статистики больше критического t_кр =2,010634722 по модулю, то гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы. Для остальных коэффициентов наблюдаемое значение t -статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. коэффициенты - незначимы.

По результатам, представленным в табл. 2.2 можно сделать вывод о том, что парные коэффициенты корреляции ρyx6, ρyx13, ρyx14,– значимы при степени свободы 48 и вероятности ошибки 5%. И соответственно, коэффициенты ρyx15, ρx6x13, ρx6x14, ρx6x15, ρx13x14, ρx13x15 и ρx14x15– незначимы.

Для значимых парных коэффициентов корреляции можно построить с заданной надёжностью γ интервальную оценку ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max с помощью Z -преобразования Фишера:

 

Алгоритм построения интервальной оценки для генерального коэффициента корреляции следующий.

1). Z_r По найденному выборочному коэффициенту корреляции r с помощью Z -преобразования Фишера мы находим соответствующее значение Z_r, являющееся гиперболическим арктангенсом r:

2). ΔZ Находим значение t_γ, соответствующее заданной надёжности γ =0,95. - значение функции Лапласа.

Находим ΔZ= 0,285890324

3). Z_min и Z_max Теперь можем найти Z_min и Z_max:

Z_min = Z_r – ΔZ; Z_max = Z_r + ΔZ

4). ρ_min и ρ_max Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находим нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции ρ_min и ρ_max, соответствующие Z_min и Z_max.

Соответствующие значения ρ_min и ρ_max являются гиперболическими тангенсами Z_min и Z_max: .

Построим с надёжностью γ= 0,95 и с учётом найденного ΔZ= 0,285890324

доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами. Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 2.3

Расчёт доверительных интервалов для парных генеральных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей с надёжностью γ=0,95

	r	Z_r	Z_min	Z_max	p_min	p_max
YX6	0,353248	0,36915	0,08325987	0,655040127	0,083068	0,57505317
YX13	0,577299	0,65840205	0,37251192	0,944292178	0,356187	0,797188071
YX14	0,334637	0,34804093	0,0621508	0,633931064	0,062071	0,560753119

 

Таким образом, доверительные интервалы с надёжностью γ= 0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:

P(0,83068≤ ρ_YX6 ≤ 0,57505317)=0,95

P(0,356187≤ ρ_YX13 ≤ 0,797188071)=0,95

P(0,062071≤ ρ _YX14 ≤ 0,560753119)=0,95

По полученным данным мы можем сделать следующие выводы:

Между исследуемыми показателями выявлены значимые корреляционные зависимости.

1). Между производительностью труда(Y) и факторным признаком: «среднегодовой фонд заработной платы ППП» (Х13) существует наиболее сильная связь.

2). Прямая умеренная связь существует между:

1производительность труда(Y) и удельным весом (Х6)

2. производительность труда(Y) и фондовооруженностью труда (Х14)

3). Значимые корреляционные обратные взаимосвязи не обнаружены.