Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 1. 3. Интеграл и его приложения ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Интегрирование - это действие обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция. В рекомендуемых учебных пособиях необходимо ознакомиться со следующими краткими сведениями справочного характера по интегральному исчислению. Неопределенный интеграл: -понятие первообразной данной функции; - определение неопределенного интеграла; - основные свойства неопределенного интеграла; - таблица основных неопределённых интегралов; - применение основных свойств и таблицы неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование; - метод подстановки. Определенный интеграл: - определение и свойства определенного интеграла; - определённый интеграл как площадь криволинейной трапеции, его принципиальное отличие от неопределенного интеграла; - вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. - замена переменной в определенном интеграле; - вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения; - использование определенного интеграла при решении задач прикладного характера. В результате изучения темы студент должен: Уметь: - находить неопределённые интегралы, сводящиеся к табличным, с помощью основных свойств и простых преобразований; - восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и др.; - вычислять определённый интеграл с помощью основных его свойств и формулы Ньютона-Лейбница; - находить площади криволинейных трапеций; - решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к составлению и вычислению интеграла. использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: - решения прикладных задач на вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;
Приведём основные свойствами неопределенного интеграла: 1) постоянный множитель (к¹0) можно выносить за знак интеграла: . 2) интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций . 3) или . 4) или . 5) .
Основные формулы интегрирования Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Справедливость этих формул можно проверить путем дифференцирования, т.е. легко убедиться в том, что производные от правых частей формул будут равны соответствующим подынтегральным функциям. Интегралы таблицы называются табличными.
Основные методы интегрирования. Непосредственное интегрирование – это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Интегрирование методом подстановки (замены переменной). Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае используют метод подстановки. Для интегрирования методом постановки будем использовать следующую схему: 1. Часть подынтегральной функции заменим новой переменной; 2. Найдем дифференциал от обеих частей замены; 3. Выразим подынтегральное выражение через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 4. Найдем полученный табличный интеграл; 5. Сделаем обратную замену, вернемся к старой переменной.
Определенный интеграл Определение. Если -первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом и обозначается т.е. Непосредственное вычисление определенного интеграла В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой совокупность всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Для его вычисления применяют формулу Ньютона- Лейбница где - нижний, а - верхний пределы определенного интеграла. Т. е. значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции при нижнем и верхнем пределах интегрирования. Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов. Если функция положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , , прямыми и отрезком оси Ox). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Таким образом, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: .
Основные свойства определенного интеграла
Вопросы для самоконтроля 1. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования? 2. Какая функция называется первообразной для заданной функции? 3. Дайте определение неопределенного интеграла. 4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла. 5. Перечислите основные табличные интегралы. 6. Запишите формулу Ньютона- Лейбница. 7. Объясните, почему она называется формулой, выражающей связь определённого интеграла с неопределённым? Где в ней неопределённый интеграл? 8. В чём принципиальное различие неопределённого и определённого интегралов? 9. Какую фигуру называют криволинейной трапецией? 10. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. 11. В чем заключается геометрический смысл определённого интеграла? 12. Запишите основные свойства определенного интеграла. 13. Какие методы вычисления определенного интеграла Вам известны? 14. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 1568; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.239.185.22 (0.008 с.) |