Тема 1. 3. Интеграл и его приложения

Интегрирование - это действие обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находится сама функция.

В рекомендуемых учебных пособиях необходимо ознакомиться со следующими краткими сведениями справочного характера по интегральному исчислению.

Неопределенный интеграл:

-понятие первообразной данной функции;

- определение неопределенного интеграла;

- основные свойства неопределенного интеграла;

- таблица основных неопределённых интегралов;

- применение основных свойств и таблицы неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование;

- метод подстановки.

Определенный интеграл:

- определение и свойства определенного интеграла;

- определённый интеграл как площадь криволинейной трапеции, его принципиальное отличие от неопределенного интеграла;

- вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

- замена переменной в определенном интеграле;

- вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения;

- использование определенного интеграла при решении задач прикладного характера.

В результате изучения темы студент должен:

Уметь:

- находить неопределённые интегралы, сводящиеся к табличным, с помощью основных свойств и простых преобразований;

- восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и др.;

- вычислять определённый интеграл с помощью основных его свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

- находить площади криволинейных трапеций;

- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к составлению и вычислению интеграла.

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- решения прикладных задач на вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

 

Приведём основные свойствами неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель (к¹0) можно выносить за знак интеграла:

.

2) интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3) или .

4) или .

5) .

 

Основные формулы интегрирования

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Справедливость этих формул можно проверить путем дифференцирования, т.е. легко убедиться в том, что производные от правых частей формул

будут равны соответствующим подынтегральным функциям. Интегралы таблицы называются табличными.

 

Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование – это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Интегрирование методом подстановки (замены переменной).

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае используют метод подстановки. Для интегрирования методом постановки будем использовать следующую схему:

1. Часть подынтегральной функции заменим новой переменной;

2. Найдем дифференциал от обеих частей замены;

3. Выразим подынтегральное выражение через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4. Найдем полученный табличный интеграл;

5. Сделаем обратную замену, вернемся к старой переменной.

 

Определенный интеграл

Определение. Если -первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом и обозначается

т.е.

Непосредственное вычисление определенного интеграла

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой совокупность всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Для его вычисления применяют формулу Ньютона- Лейбница

где - нижний, а - верхний пределы определенного интеграла.

Т. е. значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции при нижнем и верхнем пределах интегрирования. Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов.

Если функция положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , , прямыми и отрезком оси Ox). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Таким образом, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: .

Основные свойства определенного интеграла

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Перечислите основные табличные интегралы.

6. Запишите формулу Ньютона- Лейбница.

7. Объясните, почему она называется формулой, выражающей связь определённого интеграла с неопределённым? Где в ней неопределённый интеграл?

8. В чём принципиальное различие неопределённого и определённого интегралов?

9. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

10. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

11. В чем заключается геометрический смысл определённого интеграла?

12. Запишите основные свойства определенного интеграла.

13. Какие методы вычисления определенного интеграла Вам известны?

14. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.