Несобственные интегралы 1 рода

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a, b бесконечно.

Определение и основные свойства

Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен +∞, другие варианты обсудим несколько позднее. Для f (x), непрерывной при всех интересующих нас x, рассмотрим интеграл

I =∫+∞ af (x) dx. (19)

Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию

I (N)=∫ Naf (x) dx

и рассмотрим ее поведение при N →+∞.

Определение. Пусть существует конечный предел

A =lim N →+∞ I (N)=lim N →+∞∫ Naf (x) dx.

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение A, саму функцию называют интегрируемой на интервале [ a,+∞). Если же указанного предела не существует или он равен ±∞, то говорят, что интеграл (19) расходится.

Пример.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если f (x), g (x) интегрируемы на интервале [ a,+∞), то их сумма f (x)+ g (x) также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞ a (f (x)+ g (x)) dx =∫+∞ af (x) dx +∫+∞ ag (x) dx.

2. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), то для любой константы C функция C ⋅ f (x)также интегрируема на этом интервале, причем

∫+∞ aC ⋅ f (x) dx = C ⋅∫+∞ af (x) dx.

3. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), причем на этом интервале f (x)>0, то

∫+∞ af (x) dx >0.

4. Если f (x) интегрируема на интервале [ a,+∞), то для любого b > a интеграл

∫+∞ bf (x) dx

сходится, причем

∫+∞ af (x) dx =∫ baf (x) dx +∫+∞ bf (x) dx

(аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

Пример.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен −∞, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

I =∫ a −∞ f (x) dx.

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных x =− s и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

I =∫+∞− ag (s) ds,

g (s)= f (− s). Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

I =∫+∞−∞ f (x) dx,(21)

причем f (x) непрерывна при всех x ∈R. Разобъем интервал на две части: возьмем c ∈R, и рассмотрим два интеграла,

I 1=∫ c −∞ f (x) dx, I 2=∫+∞ cf (x) dx.

Определение. Если оба интеграла I1, I2 сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение I=I1+I2 (в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов I1, I2 расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки c.

 

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования (−∞, c ] или (−∞,+∞) также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).

Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Теорема (первый признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны при x>a, причем $0<f(x)a$. Тогда</f(x)

1. Если интеграл

∫+∞ ag (x) dx

сходится, то сходится и интеграл

∫+∞ af (x) dx.

2. Если интеграл

∫+∞ af (x) dx

расходится, то расходится и интеграл

∫+∞ ag (x) dx.

Теорема (второй признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны и положительны при x>a, причем существует конечный предел

θ =lim x →+∞ f (x) g (x), θ ≠0,+∞.

Тогда интегралы

∫+∞ af (x) dx,∫+∞ ag (x) dx

сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Задачи.

Пример 1. Интеграл сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла:

***

Пример 2. Интеграл сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла:

***

Пример 3. Интеграл сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла при : при

***

Пример 4. Несобственный интеграл является расходящимся, поскольку предел соответствующего определенного интеграла равен бесконечности:

***

Пример 5. Несобственный интеграл расходится, поскольку предел соответствующего определенного интеграла не существует:

 

30.Вопрос.Несобственные интегралы второго рода (определения, примеры)

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Пример. Рассмотрим . Пусть Тогда Таким образом, рассмотренный интеграл при расходится. Пусть теперь Тогда

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при сходится и при расходится. Интегралы , , используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.7. (Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует такое, что для всех выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.8. Пусть для всякого выполнено неравенство . Тогда, если интеграл сходится, то интеграл сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательствоопустим.
Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть , то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла
По определению имеем

2. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках и Разбиваем интеграл на два

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно 1/x равен ½, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при относительно равен 1.