Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Теорема 3.15 Пусть функции и имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда имеет место формула

Замечание 3.5 Заметим, что эту формулу можно записать в виде

где выражение

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения и , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

 

Доказательство теоремы 3.15. Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

и

Пусть -- некоторая первообразная для функции , а -- некоторая первообразная для функции . Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

означает, что

где . Положим теперь и и получим: и , откуда

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.

 

Замечание 3.6 Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.

Пример 3.4 Вычислим интеграл

Выгодно взять и , так что получаем:

 

При этом возникший по дороге внеинтегральный член мы вычислили так:

 

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

Пример 3.5 Вычислим интеграл

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

 

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов и , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.

 

 

29 Вопрос. Несобственные интегралы первого рода (Определения, примеры).

Несобственные интегралы

10.2 Несобственные интегралы 2 рода

Определенный интеграл

I =∫ baf (x) dx

был построен в предположении, что числа a, b конечны и f (x) - непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.