Параболическая регрессионная модель

 

При составлении статистических моделей объектов химической технологии часто возникает необходимость использовать уравнения не-линейной формы: чаще всего – параболу второй, третьей и более высо-ких степеней. В таких случаях используют метод регрессионного анали-за для составления статистической модели в виде полинома второй (или более высокой) степени:

 

	+ å bi xi +	N		+...+,...
y = b 0	å bij xi x j + å bij xi

i = 1

 

i ¹ j

 

, требуется определить b 0, b 1, b 2.

Дано уравнение y = b 0 + b 1 x + b 2 x

Коэффициенты регрессии определяют по МНК:

F =

)

® min;

(3.28)

å(y - y

N

- b 2× xi ^2)^2®min;

F =å(yi

- b 0- b 1× xi

i =1

N

¶ F

^= -^2^× i ^å=1(^yi ^- ^b 0^+ ^b 1^× ^xi ^- ^b 2^× ^xi ^2)^×^1^=^0;

¶ b

N

)

¶ F

= - 2

×

y

- b - b

× x

- b

× x ^2

× x =0;

å

¶ b

i =1^(

i

0 1

i

i

i

N

)

¶ F

= -2

×

y - b - b × x - b × x ^2

× x ^2

= 0;

å

¶ b

i =1^(

i

0 1

i

i

i

 

 

 

 

ì

b

× N + b

N

+ b

N

x ^2

N

y

;

× å x

× å

= å

ï

i =1

i

i =1

i

i =1

i

ï

N

N

N

N

ï

^xi

+ b 1×

xi ^2

+ b 2

xi ^3

(xi

× yi);

í ^b 0

× å

å

× å

= å

ï

i -1

i =1

i =1

i =1

^× ^yi)^.

ï

N

+ b 1×

N

+ b 2

N

N

ï ^b 0

× å

xi

å

xi

× å

xi

= å

(^xi

î

i =1

i =1

i =1

i =1

 

Введем обозначения:

 

N

^S 1 ⁼ _i ^å₌₁ ^xi ^{; S} 2

 

N

^S 5 ⁼ _i ^å₌₁ ^yi ^{; S} 6

 

 

= _i^N å₌₁ x_i ²;

 

 

= ^N (x ×

å _i

i =1

 

S		=	N				=	N	;
	å x ^3; S		å x ^4
		i =1 ^i				i =1 ^i
yi);	S 7=	N	(xi ^2	^× ^yi)^.
å
				i =1

 

С учетом принятых обозначений система будет иметь следующий вид:

_ï b ₀× N + b ₁× S ₁+ b ₂× S ₂= S ₅;

 

í ^b ₀ ^{× S} ₁ ^{+ b} ₁ ^{× S} ₂ ^{+ b} ₂ ^{× S} ₃ ^{= S} ₆^{; ï}_î b ₀× S ₂+ b ₁× S ₃+ b ₂× S ₄= S ₇.^ì

 

Неизвестные коэффициенты b ₀, b ₁, b ₂ определяются по следующим выражениям:

 

S 5

S 1

S 2

S 6

S 2

S 3

b

=

S 7

S 3

S 4

=

S

S

S

+ S

S

S

+ S S S

- S

S

S

- S S S

- S

S

S

;

6 1

N S 1

S 2

NS

S

+ S S

S

+ S S S

- S

S

S

- S S S

- NS

S

S 1

S 2

S 3

S 2

S 3

S 4

 

 

 

b ₁=

 

 

b ₂=

 

n S ₅ S ₂ ^S 1 ^S 6 ^S 3 ^S 2 ^S 7 ^S 4 N S ₁ S ₂ ^S 1 ^S 2 ^S 3

S ₂ S ₃ S ₄

 

N S ₁ S ₅ S ₁ S ₂ S ₆ S ₂ S ₃ S ₇ N S ₁ S ₂ S ₁ S ₂ S ₃ S ₂ S ₃ S ₄

 

 

=

NS 6 S 4+ S 1 S 7 S 2+ S 2 S 5 S 3- S 2 S 6 S 2- S 1 S 5 S 4- NS 7 S 3

;

(3.29)

NS

S

+ S S

S

+ S S S

- S

S

S

- S S S

- NS

S

 

 

₌ ^NS 2 ^S 7 ^{+ S} 1 ^S 3 ^S 5 ^{+ S} 2 ^S 1 ^S 6 ^{- S} 2 ^S 2 ^S 5 ^{- S} 1 ^S 1 ^S 7 ^{- NS} 3 ^S 6 _. NS ₂ S ₄+ S ₁ S ₃ S ₂+ S ₂ S ₁ S ₃- S ₂ S ₂ S ₂- S ₁ S ₁ S ₄- NS ₃ S ₃

 

 

Решая систему уравнений, вычисляем коэффициенты b 0, b 1, b 2. Аналогично будут определяться коэффициенты параболы любого

 

порядка. Исследование уравнения проводится по статистическим кри-териям, так же как и в случае линейной регрессии.

 

Адекватности уравнения регрессии эксперименту можно добить-ся, повышая степень полинома. Однако при этом все коэффициенты следует вычислять заново (т. к. существует корреляция между коэф-фициентами).

 

Таким образом, пассивные методы сбора экспериментальной информации имеют определенные преимущества, которые заключа-ются в том, что информация собирается в режиме нормальной экс-плуатации объекта. Это преимущество способствовало широкому внедрению регрессионного анализа для изучения объектов химиче-ской технологии. Однако полученные на базе пассивного экспери-мента модели во многих случаях оказываются неэффективными. Причиной является не сам метод, а то, что не выполняются основные предпосылки регрессионного анализа: факторы измеряются с боль-шими ошибками. В пассивном эксперименте, как правило, ошибка измерения x соизмерима, а то и больше ошибки при измерении y. Иногда ошибка измерения входных параметров превышает даже ин-тервал изменения самих факторов.

 

Кроме того, факторы (x_i) или коэффициенты b_i имеют между собой корреляционную связь. Это затрудняет статистический анализ и интер-претацию результатов.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. В каких случаях прибегают к построению статистических моде-лей?

2. На чем базируется построение статистических моделей?

3. Каков общий вид статистических моделей?

4. Приведите два вида эксперимента, используемые для построения статистических моделей.

5. В чем разница между пассивным и активным экспериментом?

6. Для чего проводят корреляционный анализ?

7. Какова основная характеристика корреляционного анализа?

8. Какова суть регрессионного анализа?

9. Перечислите виды регрессии, привести примеры.

10. Назовите метод, применяемый для оценки коэффициентов уравне-ния регрессии.

11. Какова последовательность статистического (регрессионного) анализа?

 

 

3.3. Статистические модели на основе активного эксперимента (методы планирования экстремальных экспериментов)

 

Обработка результатов пассивного эксперимента проводится мето-дами корреляционного и регрессионного анализов, и выбор вида эмпи-рической модели является достаточно сложной задачей, т. к. вид урав-нения регрессии необходимо определить по характеру изменения переменных на графике эмпирической линии регрессии, полученной по выборке экспериментальных данных.

Стремление избавиться от недостатков моделей на базе пассивного экс-перимента привело к математической теории активного эксперимента [26].

 

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану и обрабатывается по некоторому оптимальному алгоритму с целью со-ставления математической модели. Одним из основных методов теории активного эксперимента является статистическое планирование экспе-римента [1, 5, 25, 26].

 

Планы первого порядка