Статистический анализ результатов

 

1. Для оценки тесноты линейной зависимости между факторами рас-считывают коэффициенты парной корреляции r_xy по формуле (3.5). Чем ближе значение r_xy к 1, тем вероятнее наличие линейной связи.

 

Следовательно, зависимость между x и y в определенном диапазоне будет иметь вид

y ˆ= b ₀+ b ₁ x.

 

2. Проверка однородности дисперсий.

1) Определяется среднее по результатам параллельных опытов (если есть параллельные опыты):

 

		m
y	=	å y	iu	;	i =1,..., N,	(3.16)
u =1
i	m

где m – число параллельных опытов; N – количество опытов в выборке.

2) Определяются выборочные дисперсии:

 

	m	(yiu -	yi)^2
S i ^2=	å	;	i =		(3.17)
u =1			1, N
	m -1

 

3) Суммируются дисперсии:

^N _S 2 _;

å i

i =1

 

 

4) Выбирается максимальная дисперсия, составляется отношение

 

G =	S ^2	(3.18)
max	,
N
	å Si ^2
	i =1

 

где S _max² – максимальное значение выборочной дисперсии.

 

Проверяется однородность дисперсий по критерию Кохрена (G) (при одинаковом количестве параллельных опытов).

 

Если G < G _табл(q, f), то дисперсии однородны, где q – уровень зна-чимости; f – число степеней свободы.

Число степеней свободы f ₁ = m – 1; f ₂ = N.

5) Определяется дисперсия воспроизводимости

 

	N
	å Si ^2		.	(3.19)
i =1
^S воспр ^=
N (m -	1)

 

Число степеней свободы f = N (m –1) – для одинакового числа опытов m.

 

3. Оценивается значимость коэффициентов полинома по критерию Стью-дента (t) (предпосылка – отсутствие корреляции между факторами):

 

tb

=

bi

,

(3.20)

i

Sb

i

где bi – i- й коэффициент уравнения регрессии;

Sb

– среднеквадратиче-

ское отклонение i -го коэффициента.

i

^Sb

и Sb

Для случая линейного полинома

вычисляются по сле-

дующим формулам:

i

S

N

å x

Sb

=

воспр

i

=1

i

;

(3.21)

N

-

N

)

N å x ^2

å

i =1

i

(i -1 ^i

S

=

S воспр^2

× N

.

(3.22)

N

N

b 1

N

-

å x ^2

å x

i =1

i

(i =1

i)

При числе факторов больше двух подобные формулы из-за гро-моздкости не используются.

^Если t > t (q, f), то коэффициент bi значим (значимо отличает-

b_i табл

 

ся от 0). В противном случае – не значим.

 

 

4. Проверка модели (полученного уравнения) на адекватность осуще-ствляется по критерию Фишера (F).

Полагают, что уравнение регрессии адекватно описывает иссле-дуемый процесс, если остаточная дисперсия выходной величины y, рас-считанной по уравнению регрессии относительно экспериментальных данных, не превосходит ошибки опыта.

 

Если

 

F =	S ост^2	< F	(q, f	, f		),	(3.23)
S воспр^2
	T

 

то модель адекватна (т. е. линейное уравнение регрессии адекватно опи-сывает исследуемый объект).

 

Для одинакового числа параллельных опытов m ₁ = m ₂ =... m_n выра-жение для остаточной дисперсии имеет вид

	N		- ˆ ^2
	(yi	yi)
S ост^2=	å	,	(3.24)
i =1
	N - l

где y_i – среднее значение выходного параметра по результатам парал-лельных опытов (3.16); y ˆ _i – расчетное значение выходного параметра.

 

Если при проведении эксперимента опыты не дублировались, то выражение будет следующим:

		N	- ˆ
		å(yi
S ост^2	=	yi)		,	(3.25)
i =1
N - l
где f 1 = N - l и f 2 = N (m - 1)
– число степеней свободы числителя и

знаменателя соответственно; l = n +1 – число членов аппроксимирую-щего полинома (число коэффициентов регрессии, включая свободный член); N – общее количество опытов; n – количество факторов (x ₁, x ₂,…); y_i –экспериментальное значение выходного параметра.

 

Если при проведении эксперимента не было возможности выпол-нить параллельные опыты, то вместо проверки модели на адекватность выполняется оценка качества аппроксимации уравнением. Это достига-

 

ется сравнением остаточной дисперсии S _ост² с дисперсией относительно среднего S_y ²:

	N	(y -	y	)2
	å
Sy ^2=	i =1	i	,	(3.26)
	N -1

где y_i – экспериментальное значение выходного параметра.

 

y =¹å ^N y_i –среднее значение выходного параметра.

N i =1

 

По критерию Фишера

_S 2

F = ₂ ^y. (3.27)

^S ост

 

В этом случае чем больше значение F превышает табличное F _табл(q, f ₁, f ₂),тем уравнение регрессии эффективнее для выбранногоуровня значимости q и чисел степеней свободы f ₁ = N - l и f ₂ = N - l.

 

Таким образом, критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеивание относительно полученного уравнения регрес-сии по сравнению с рассеиванием относительно среднего.