Как моделируются контакты тел при описании динамической системы с помощью уравнений Ньютона–Эйлера?

Уравнения Ньютона–Эйлера описывают движение изолированного тела. В системе (механизме) тела могут взаимодействовать посредством столкновений друг с другом, а также путем постоянных кон' тактов в виде заданных кинематических пар. Простейший способ моделирования таких контактов состоит в вычислении (тем или иным способом) неизвестных сил, действующих на тела в процессе контакта, и учете их в уравнениях Ньютона–Эйлера. Выделяют три основных подхода к вычислению неизвестных сил в точке контакта: пружинно-амортизаторные пары (метод штрафов); двусторонние контактные силы; односторонние контактные силы; повторный импульс. Метод штрафов состоит в помещении пружинно-амортизаторной связки между контактирующими телами в случае, если одно из тел частично проникает в другое. Такая связка задает силы, действующие на оба тела и отталкивающие их друг от друга. Таким образом, на взаимопроникновение тел накладывается штраф. Когда тела перестают контактировать, пружинно-амортизаторная пара удаляется. Данный метод прост в реализации и зачастую обеспечивает достаточно реалистичное моделирование контакта, но численно нестабилен. Методы расчета одно и двусторонних контактных сил строятся путем накладывания временного ограничения фиксации точки контакта, из которого – в предположении нулевого ускорения между контактирующими телами – можно вывести скорости и ускорения, решая соответствующую обратную задачу кинематики. Вычисленные скорости и ускорения позволяют определить силы, действующие на тела в точке контакта. Метод вычисления повторного импульса основан на вычислении импульса из уравнения момента импульса. Для учета продолжительного контакта используются повторяющиеся импульсы. Тела в точке контакта имеют общую нормаль n, относительная скорость тел в направлении этой нормали определяет вид контакта – столкновение (ненулевая скорость) или скольжение (нулевая относительная скорость в направлении нормали). Для учета скольжений тел используют метод введения временной кинематической пары (задающей скольжение заданных участков поверхности тел друг по другу). Данная пара действует, пока тела находятся в контакте.

2.15.Опишите общую схему методов определения столкновений. Для чего они используются в САПР?

При моделировании динамики системы твердых тел является определение их столкновений. На каждом шаге решения обыкновенного дифференциального (или дифференциального алгебраического) уравнения необходимо проверять, произошло ли столкновение каких-либо тел, и вычислять неизвестные силы, возникающие при этом столкновении (одним из разобранных выше методов). В случае, когда система состоит из большого количества объектов, попарное тестирование на пересечение ведет к квадратичной сложности алгоритма, поэтому для систем, состоящих из большого количества тел, применяют двухфазные алгоритмы. Первая фаза (называемая широкой) позволяет быстро найти пары потенциально пересекающихся тел, а вторая фаза (сужения) состоит в проверке каждой пары на пересечение. Заметим, что методы определения столкновений используются в разных приложениях САПР и в общем случае отвечают на один из трех вопросов: есть ли столкновение в системе; каковы точки контакта и нормали в них; чему равны пересекающиеся объемы (глубина пересечения). Первый вопрос полезен в контексте кинематических приложений, где нет нужды обрабатывать геометрическую информацию о контакте, а достаточно проверить сам факт контакта. В приложениях динамики необходимо получать также ту или иную геометрическую информацию, которая позволит вычислить неизвестные силы, действующие на тела в момент контакта.