Многоканальные СМО с очередью.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(d/d+s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Будем говорить, что в системе установился стационарный режим работы, если среднее число поступающих требований меньше среднего числа требований, обслуженных на всех линиях системы, т.е. l<m*s (или j=y/s < 1). Анализ систем такого рода показывает, что

,

а , для k =1,2,…

Характеристики.

Как и одноканальные СМО с ожиданием, многоканальные СМО характеризуются некоторыми характеристиками. Нас интересуют средние значения этих величин.

j – количество занятых линий обслуживания, .

r – число свободных линий, .

v – длина очереди, .

w – время ожидания начала обслуживания, .

P(w>0) – вероятность ожидания начала обслуживания, .

Последняя характеристика позволяет решать задачу об определении оптимального числа каналов обслуживания с таким расчетом, чтобы вероятность ожидания начала обслуживания была меньше заданного числа. Для этого достаточно просчитать вероятность ожидания последовательно при s =1, s =2, s =3 и т.д.

ПРИМЕР.

СМО – станция скорой помощи небольшого микрорайона. l =3 вызова в час, а m = 4 вызова в час для одной бригады. Сколько бригад необходимо иметь на станции, чтобы вероятность ожидания выезда была меньше 0.01?

Решение. Коэффициент загрузки системы y =0.75. Предположим, что в наличие имеется две бригады. Найдем вероятность ожидания начала обслуживания

при s =2. , .

Предположим наличие трех бригад, т.е. s =3. По формулам получим, что р0=8/17, Р(w>0)=0.04>0.01.

Предположим, что на станции четыре бригады, т.е. s =4. Тогда получим, что р0=416/881, Р(w>0)=0.0077<0.01. Следовательно, на станции должно быть четыре бригады.

Вопросы для самоконтроля

1. Предмет и задачи теории массового обслуживания.

2. СМО, их модели и обозначения.

3. Входной поток требований. Интенсивность входного потока.

4. Состояние системы. Матрица и граф переходов.

5. Одноканальные СМО с отказами.

6. Одноканальные СМО с очередью. Характеристики.

7. Стационарный режим работы. Коэффициент загрузки системы.

8. Многоканальные СМО с отказами.

9. Оптимизация функции стоимости.

10. Многоканальные СМО с очередью. Характеристики.

3.7 Упражнения для самостоятельной работы

1. Закусочная на АЗС имеет один прилавок. Автомобили прибывают в соответствии с пуассоновским распределением, в среднем 2 автомобиля за 5 минут. Для выполнения заказа в среднем достаточно 1.5 минуты, хотя продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону. Найти: а) вероятность простоя прилавка; b) средние характеристики; c) вероятность того, что количество прибывших автомобилей будет не менее 10.

2. Рентгеновский аппарат позволяет обследовать в среднем 7 человек в час. Интенсивность посетителей составляет 5 человек в час. Предполагая стационарный режим работы, определить средние характеристики.

3. Время обслуживания в СМО подчиняется экспоненциальному закону,
m = 7требований в час. Найти вероятность того, что а) время обслуживания находится в интервале от 3 до 30 минут; b) требование будет обслужено в течение одного часа. Воспользоваться таблицей значений функции ех.

4. В речном порту один причал, интенсивность входного потока – 5 судов в день. Интенсивность погрузочно-разгрузочных работ – 6 судов в день. Имея в виду стационарный режим работы, определить все средние характеристики системы.

5. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 2?

6. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =1, штраф за каждый отказ равен 7, а стоимость простоя одной линии равна 3?

7. Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =4, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 1?

8. Определить число взлетно-посадочных полос для самолетов с учетом требования, что вероятность ожидания должна быть меньше, чем 0.05. При этом интенсивность входного потока 27 самолетов в сутки, а интенсивность их обслуживания – 30 самолетов в сутки.

9. Сколько равноценных независимых конвейерных линий должен иметь цех, чтобы обеспечить ритм работы, при котором вероятность ожидания обработки изделий должна быть меньше 0.03 (каждое изделие выпускается одной линией). Известно, что интенсивность поступления заказов 30 изделий в час, а интенсивность обработки изделия одной линией – 36 изделий в час.

10. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l=5. Найти функцию распределения, характеристики и вероятность попадания с.в. Х в интервал от 0.17 до 0.28.

11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, равно 3. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) два вызова; б) меньше двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

12. В ящике 17 деталей, из которых 4 – бракованные. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что а) все извлеченные детали – качественные; б) среди извлеченных деталей 3 бракованных.

13. Сколько каналов должна иметь СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 8т.руб., стоимость простоя одной линии – 2т.руб. в час?