Тема 1. 3. Аналіз лінійних економіко-математичних моделей

 

В загальному випадку аналіз лінійних ЕММ може виконуватися в такій послідовності:

передоптимізаційний аналіз узгодженості умов задачі (необхідні умови узгодженості);

оптимізаційний аналіз узгодженості умов задачі (достатні умови узгодженості);

аналіз оптимального розв’язку;

післяоптимізаційний аналіз на чутливість щодо змін b_і, а_іj, p_j.

Знаходженню оптимального розв’язку передує аналіз узгодженості умов задачі, який дає змогу встановити доцільність пошуку оптимального розв’язку. Якщо умови задачі є узгодженими, що свідчить про існування принаймі одного допустимого розв’язку, то можна приступати до знаходження оптимального розв’язку. Якщо ж умови задачі неузгоджені, то область допустимих розв"язків буде порожньою. В такому випадку слід встановити причини, які викликають неузгодженість умов задачі та визначити розмір невідповідності (розбалансованості) умов задачі.

Передоптимізаційний аналіз полягає у попередній (наближеній) оцінці узгодженості умов задачі. Якщо в умові задачі присутні обмеження на граничні значення змінних величин х_j, то з урахуванням структури конкретної ЕММ можна встановити первісну (вторинну) узгодженість умов задачі після підстановки розв’язків

 

 

в умови (1.23), (1.24) відповідно (див. задачу планування виробництва продукції (1.23),-(1.26).

Якщо обмеження типу (1.25) не задані в умові задачі, то послідовно розрахувавши такі величини

 

 

,

 

 

можна оцінити узгодженість умов задачі після їх підстановки в обмеження (1.23)-(1.24):

 

 

(1.35)

 

 

(1.36)

 

де , - очікуваний максимально можливий (мінімально можливий) розмір виробництва продукції;

- середній розмір витрат і-го ресурсу на одиницю продукції;

f_j - питома вага виробництва продукції j-го виду ( =1);

- середня кількість виробництва продукції;

- середнє значення r-го економічного показника на одиницю продукції.

Якщо умова (1.35) виконується для всіх видів ресурсів, то можна стверджувати що первісну узгодженість умов задачі.

Якщо умова (1.36) виконується для всіх видів показників r, то можна стверджувати про вторинну узгодженість умов задачі.

Зауважимо, що первісна (вторинна) узгодженість умов задачі, яка встановлена на етапі передоптимізаційного аналізу, не гарантує узгодженості умов у цілому, тому проведення оптимізаційного аналізу є обов’язковим елементом аналізу збалансованості умов задачі.

На етапі оптимізаційного аналізу задачі планування виробництва можна встановити розмір ресурсно-кількісної невідповідності умов задачі, тобто визначити мінімальний розмір додаткової потреби в ресурсах для забезпечення виробництва продукції на нижній межі , або максимально можливий розмір виробництва продукції при заданому ресурсному забезпеченні b_j.

Оптимізаційний аналіз узгодженості умов задачі може здійснюватися за допомогою методів штрафних функцій або цільового програмування.

За методом штрафних функцій задача (1.23)-(1.26) перетворюється до моделей типу А,В,С:

Модель А

 

Модель В

 

 

Модель С

 

(1.51)

(1.52)

 

де с_і,с_j,с_r - розмір штрафу (небажаних економічних наслідків) на одиницю відхилення від рівня ресурсного забезпечення, від нижньої (верхньої) межі виробництва продукції, від планового рівня економічного показника відповідно;

D_і - змінна величина, яка характеризує розмір додаткової потреби в ресурсах і-го виду (D_і³0);

d_j - змінна величина, яка характеризує розмір понадпланового виробництва продукції j-го виду (d_j ³ 0);

D_j - змінна величина, яка характеризує розмір недосягнення нижньої межі виробництва продукції (D_j ³ 0);

D_r - змінна величина, яка характеризує розмір відхилення від планового значення r-го показника (D_r ³ 0).

За допомогою моделі А можна встановити мінімальний розмір додаткової потреби в ресурсах, необхідний для забезпечення виробництва продукції в заданих межах. При цьому обмеження на планові значення основних показників (1.39) має довідковий характер (за рахунок введення додаткових змінних Dr).

Модель В дає змогу визначити максимально можливий розмір виробництва продукції при фіксованому рівні ресурсного забезпечення.

Модель С служить для встановлення мінімальної потреби в додаткових ресурсах і можливої зміни верхньої межі виробництва продукції з метою забезпечення досягнення планових значень показників виробничо-господарської діяльності підприємства.

Метод цільового встановлення узгодженості умов задачі полягає у такій трансформації задачі планування виробництва продукції, при якій завжди досягається допустимий розв’язок. Цей метод можна розглядати як модифікацію методу штрафних функцій.

Перетворимо задачу (1.23)-(1.26) до канонічного виду (1.27)-(1.32):

(1.53)

(1.54)

(1.55)

(1.56)

(1.57)

, (1.58)

 

де S_i,U_r,U_j,S_j - додаткові змінні.

Зауважимо, що умова невід’ємності на змінні величини S_i,U_r,U_j,S_j не накладається.

У випадку розбалансованості умов задачі (1.23)-(1.26) додаткові змінні можуть приймати від’ємні значення, що може свідчити про недостатню забезпеченість ресурсами (S_i <0), про неможливість досягнення планових значень показників виробничо-господарської діяльності (u_r <0), про відхилення випуску продукції від нижньої, верхньої межі виробництва продукції j-го виду (u_j <0, S_j <0).

Скориставшись такою зміною змінних:

 

(1.59)

 

(1.60)

 

(1.61)

 

(1.62)

 

де характеризують розмір залишку, нестачі і-го ресурсу;

розмір перевищення, недосягнення планового рівня r-го показника;

розмір виробництва продукції понад нижню межу, недосягення нижньої межі;

розмір виробництва продукції понад верхню межу (недосягнення верхньої межі).

Перетворимо задачу (1.53)-(1.58) до такого вигляду:

 

(1.63)

 

(1.64)

 

(1.65)

 

(1.66)

 

(1.67)

 

. (1.68)

 

Для цієї моделі завжди існує допустимий розв’язок і за значеннями додаткових змінних можна встановити характер і розмір розбалансованості умов задачі, якщо вона існує.

При аналізі оптимального розв’язку важливу роль відіграють двоїсті оцінки, які служать характеристикою дефіцитності ресурсів, а також мірою впливу обмежень на значення ФМ. Двоїсті оцінки вказують, як зміниться значення ФМ при збільшенні розміру відповідного ресурсу на одиницю.

Двоїсті оцінки можна встановити за значенням оцінки відповідного вектора, що входить до початкового одиничного базису. Для цього до оцінки, взятої з (m+1)-го рядка, додається відповідне значення коефіцієнта ФМ.

Між оптимальними розв’язками прямої і двоїстої задач існує така відповідність:

якщо для оптимального розв’язку прямої задачі певна умова виконується як нерівність, то відповідна змінна величина входить в оптимальний розв’язок двоїстої задачі з нульовим значенням.

Іншими словами, оцінки ресурсів, які не повністю використовуються в оптимальному розв’язку початкової задачі, завжди рівні нулеві, а оцінки ресурсів, які повністю використовуються - приймають додатне значення.

Зауважимо, що двоїсті оцінки за своєю природою є граничними оцінками, тобто вони характеризують зміну оптимального значення ФМ при незначному прирості ресурсного забезпечення.

Післяоптимізаційний аналіз дає змогу оцінити чутливість моделі на зміну коефіцієнтів p_j, a_ij та правих частин обмежень. При цьому отримуються відповіді на такі основні питання:

· як впливає зміна коефіцієнтів p_j базисних змінних на структуру оптимального розв’язку;

· як зміниться оптимальний розв’язок при зміні розміру ресурсного забезпечення b_і;

· які зміни викличе включення в ЕММ нової основної змінної величини x_j.