Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 6.2. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
Теорема 6.2. (Необходимое условие интегрируемости функции). Если функция интегрируема на некотором отрезке , то она ограничена на этом отрезке. Доказательство. Предположим противное, что функция неограниченна, но интегрируема на отрезке . Пусть T разбиение отрезка интегрирования. Тогда на одном из отрезков разбиения функция неограниченна и за счет выбора промежуточной точки из этого отрезка разбиения слагаемое , а, следовательно, и вся интегральная сумма, может быть сделано сколь угодно большим по модулю. Поэтому интегральные суммы такой функции не имеют предела, что противоречит исходному утверждению. Конец доказательства. Из теоремы 6.2. следует, неограниченные на отрезках функции не интегрируемы. Но условие ограниченности функции не является достаточным. Приведем пример ограниченной, но не интегрируемой функции. Пример 6.1. (Функция Дирихле). На отрезке определена функция так, что , если х иррационально, и , если х рационально. Покажем, что эта функция не интегрируема по Риману, хотя она, очевидно, ограничена. Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка и составим интегральную сумму . Если на отрезках разбиения выбрать рациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны 0. Если на отрезках разбиения выбрать иррациональные значения , то интегральные суммы для произвольного разбиения равны . Следовательно, такие интегральные суммы не имеют предела. Конец доказательства. Теорема 6.3. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке. Эта теорема приводится без доказательства. Отметим, что функция Дирихле ограничена, но имеет разрыв 1-го рода в каждой точке отрезка . Так как множество чисел отрезка несчетно, то функция Дирихле не удовлетворяет условиям теоремы 6.3. Из теоремы 6.3. следует ряд важных следствий. Следствие 6.1. Непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Следствие 6.2. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Приведем еще один класс интегрируемых функций. Теорема 6.4. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Эта теорема приводится без доказательства.
Замечание 6.1. Монотонная на отрезке функция ограничена на этом отрезке значениями . Следовательно, монотонные функции на отрезках удовлетворяют необходимым условиям интегрируемости (теорема 6.2). Конец замечания. Замечание 6.2. Отметим без доказательства, что монотонная на отрезке функция может иметь только счетное (конечное или бесконечное) число точек разрыва первого рода. По этой причине монотонные функции на отрезках удовлетворяют достаточным условиям интегрируемости (теорема 6.3). Конец замечания. Рассмотрим теперь геометрический смысл определенного интеграла. Пусть T произвольное разбиение отрезка и . На каждом отрезке разбиения построим прямоугольник, высота которого равна наименьшему значению функции на этом отрезке. Очевидно, что полученная фигура будет вписана в соответствующую криволинейную трапецию. Обозначим площадь вписанной ступенчатой фигуры . Аналогично можно построить описанную ступенчатую фигуру, выбирая на каждом отрезке разбиения высоту, равную максимальному значению функции на отрезке разбиения. Ее площадь обозначим через . В зависимости от разбиения T значения и будут меняться. Если максимальное значение равно минимальному значению , то S называют площадью плоской фигуры. Можно показать, что если и интегрируема, то криволинейная трапеция, соответствующая функции имеет площадь .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 742; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.59.231 (0.004 с.) |