Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция № 6 определенный интеграл.
Вопрос 6.1. Интегральная сумма и определенный интеграл Римана. Пусть задана на . Разобьем отрезок n +1 точкой на n отрезков . Будем обозначать это разбиение отрезка буквой Т. Пусть ‑ произвольная точка из отрезка разбиения длины . Определение 6.1. Число , равное называется интегральной суммой Римана функции , соответствующей разбиению T отрезка на части и выбору промежуточных точек на отрезках разбиения . Конец определения. Определение 6.2. Величина , то есть длина наибольшего из отрезков разбиения, называется диаметром разбиения T. Конец определения. Перечислим свойства интегральных сумм: Свойство 6.1. (Нормировка интегральных сумм). Если на отрезке , то . Доказательство. . Конец доказательства. Свойство 6.2. (Положительная определенность интегральных сумм). Если на отрезке , то . Доказательство. Так как и , то . Конец доказательства. Свойство 6.3. (Линейность интегральных сумм). Интегральная сумма от линейной комбинации функций есть линейная комбинация интегральных сумм этих функций. . Доказательство. . Раскрывая скобки и группируя слагаемые, получим Конец доказательства. Геометрический смысл интегральной суммы: интегральная сумма (см. рис. 1) функции на отрезке есть площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников высотой и шириной . Рис. 1. Геометрический смысл интегральной суммы. Определение предела интегральных сумм функции на отрезке можно дать, например, на языке следующим образом. Определение 6.3. Число I называется пределом интегральных сумм функции на отрезке , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число , может быть зависящее от e, что для любого разбиения Т отрезка , диаметр которого удовлетворяет неравенству , независимо от способа разбиения отрезка на части и от выбора промежуточных точек выполняется неравенство . Конец определения. Предел интегральных сумм будем в дальнейшем обозначать символом . Из определения предела интегральных сумм, подобно пределу последовательности или функции, следует его единственность. Теорема 6.1. (Единственность предела интегральных сумм). Если существует предел интегральных сумм функции на отрезке , то он единственен.
Доказательство. Предположим противное. Пусть для функции на отрезке существует два различных значения предела интегральных сумм . Пусть выбрано . Тогда должно существовать такое число , что для разбиений с диаметром выполняются неравенства и . Тогда или . Полученное противоречие доказывает теорему 6.1. Конец доказательства. Определение 6.4. Определенным интегралом от функции на отрезке или интегралом Римана называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, обозначаемый символом , при условии, что величина предела не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора промежуточных точек . Функции, для которых существует на отрезке определенный интеграл, называются интегрируемыми (по Риману). Конец определения.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 527; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.179.186 (0.009 с.) |