Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий.

= (6) = i=1,…,n

Считается, что определена и непрерывно дифференцируема в области G

Пусть = (t), t –решение системы (6)

Кривая Г: –

-интегральная кривая системы (6)

Гс – пространство решений

Определение. Пространство называется фазовым пространством системы (6), а кривая , задаваемая направлением , где = (t)=( - решение системы (5), называется фазовой траекторией системы (5).

Определение. Если функции не зависят явно от , т.е. система имеет вид (7) = ; =

То система ОДУ называется автономной

Определение. Точка =(,…, называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (7), если , т.е.

Свойства фазовых траекторий автономной системы

1) Если точка =(,…, -точка покоя системы (7), то вектор-функция (t) является решением системы (7)

Док-во: = = =f( (t) - решение (7)

2) Если точка покоя системы (7), то – фазовая траектория системы (7)

Док-во: (t) - решение (7)

Замечание: Точка покоя = называется (ассимтотически) устойчивой или неустойчивой, если устойчиво или (ассимтотически устойчиво или неустойчиво) решение (t) .

3) Если фазовая траектория отлична от точки покоя, то она является гладкой кривой(т.е. в каждой её точке ненулевой касательный вектор).

4) Если = (t)- решение системы (7), то для вектор-функция = (t+с)- также решение системы (7) и фазовые траетории этих решений совпадают.

5) 2 фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают.

6) следующие типы фазовых траекторий: 1. Точка (положение равновесия); 2.гладкая замкнутая кривая (цикл); 3.гладкая кривая без точек самопересечения;

 

36. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - действительные.

,

Находим точки покоя

— вектор скорости

I) — единственная точка покоя (0,0)

II)

(x₀,y₀) — точка прямой

III) — все точки плоскости есть точки покоя.

— характеристическое уравнение

— корни

I) ,

1° ,

— общее решение

 

37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные.

A= ,

;

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

1) =0, , ,

, т.е. нулевоереш. не явл. асимптотически уст.

Решение периодично T=

x(t)=x(t+T)

y(t)=y(t+T)

Все фазовые траектории замкнуты

Центр (нет асимптотической устойчивости)

а) =Re , ,

Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя

 

Устойчивый фокус

 

а) =Re ,

Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные

спирали

 

 

Неустойчивый фокус

38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае ,

A= ,

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

кратные корни

= +

-собственный вектор, отвечающий

1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к )

а)

асимптоти-чески устойчивая система

 

Устойчивый вырожденный узел

б) неустойчивая система