Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения.
Постановка задачи Коши. Пусть область D∈ и F(x,y) определена на D y'=F(x,y) Определение 3. φ(x) определена на промежутке I=<α,β> называют решением уравнения y'=F(x,y) если: 1) φ(x) ∈C1(I) 2) ∀x∈I:(x, φ(x)) 3) ∀x∈I:φ'(x) ≡F(x, φ(x)) Определение 4. Если y= φ(x) является решением y'=F(x,y),то график этой функции называют интегральной кривой уравнения y'=F(x,y).Ясно,что интегральная кривая ∈ D Геометрическая интерпретация Говорят,что в области D∈R2 задано векторное поле ,если в каждой точке M(x,y) ∈ В поставлен в соответствии вектор (x,y),приложенный к этой точке Для уравнения y'=F(x,y) построено векторное поле (x,y)= – поле направления Пусть y= φ(x) интегральная кривая y'=F(x,y), В точке (x, y) y'= φ' (x)=F(x, φ(x))=F(x,y) Т.е тангенс угла наклона к φ= φ(x) равен F(x,y) Постановка Задачи Коши Постановка задачи –необходимо понять,что задано и что надо найти Дано: В области D заданы дифф.ур-ия y'= F(x,y) и два числа x0 и y0 такие,что (x0,y0) ∈D Найти: решение y= φ(x) уравнения y'=F(x,y) определена на некотором интервале где x0∈ I=<α,β> и удовлетворяет условию φ(x0)=y0, числа x0 и y0 называются начальными условиями. Условная запись задачи Коши y'= F(x,y),y(x0)=y0 Замечания 1) Если F(x,y) ∈C(D) То задача Коши имеет решение в любой точке в области D 2) Решений у уравнения y'= F(x,y)бесконечно много 3) (x0,y0) ∈D:Для единственности решения требует дополнительные условия Формулировка теоремы существования и единственности (ТСЕ). Понятие общего решения. Обобщение некоторых понятий.Пусть f(x,y) определена в области D∈ точка (x0,y0) ∈D Рассматриваем задачу коши (8) Пусть φ1(x) и φ2(x) решения (8),т.е φ1(x),φ2(x) - решение y'=F(x,y), φ1(x0)=y0 φ2(x0)=y0 Определение 5. Говорят,что задача Коши (8) имеет единственное решение если любые два решения φ1(x) и φ2(x) этой задачи,совпадают на некоторой окрестности точки x0 т.е ∃ δ>0 ∀x∈(x0 – δ, x0 + δ): φ1(x) ≡ φ2(x) ТеоремаТСЕ1(локальная) Пусть на области D∈ функция и (x,y) определена и непрерывна и точка (x0,y0) ∈D.Тогда уравнение имеет решение φ(x) 1)Определена на некоторой окрестности (x0 – h, x0 + h) точки x0 , удовлетворяет условию φ(x0 )= y0 2)Такое решение единственное(Без док-ва) Замечание к ТСЕ Пусть в D выполняется условие ТСЕ1
1)В D бесконечно много решений уравнения, x0 - точка (x0 , y0) ∈D.Через эту точку проходит единственное решение y=φ(x0 , y0).Все эти решения не совпадают Определение 6. Пусть удоволитворяет в D условием ТСЕ1 Функция y=φ(x,C) называют общем решением y'= F(x,y) в области D,если 1) ∀C: φ(x,C) решением φ(x,C) 2) Любое частное решение y'=F(x,y) может быть получен из φ(x,C) подбором соответствующего значения C 20 Решением задачи может быть определена лишь на некоторой (небольшой) окрестности точки x0 Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Примеры. ОДУ вида:(3) –называют уравнение с разделяющимися переменными Теорема 1.Если непрерывная при a<x<b, непрерывна при c<y<d, причем ∀y∈(c,d):g(y)≠0,то через каждую точку M0(x0 , y0) прямоугольника D= проходит единственное решение уравнения (3) Доко-во (3)y =f(x)g(y);g(y) ≠0 (3 ): =f(x) Проинтегрируем по x: = ó Обозначим F(x)= G(y)= из (3*) G(y)=F(x)+C Т.к G = ≠0,то у G(y) существует обратный G-1 Y=G-1(f(x)+C) – решением уравнения (3) Найдем решение проходящие (x0 , y0) G(y0)=F(x0)+C; y= G-1(f(x)) Замечания 1)Если ∃y* такое g(y*)=0 тогда,уравнение (3) имеет решение y=y* 2) Алгоритм решения ур-ия (3) a)g(y)=0 найти y*g(y*)=0,тогда y= y* б)g(y) ≠0; =f(x)ó = 3) =f(ax+by+c),a,b,c∈ ℝ, b≠0 Такое ур-ие сводится к ур-ию с разделяющими переменными x- независимая переменная,z=z(x) z'=a+bf(2) уравнение с раздел. Перемен z=ax+by+c и z'=a+by' Пример: ydx = (x +1) dy Однородные уравнения (4)y'=F( Уравнение вида (4) называют однородным, x – независимая переменная U=U(x) y=ux;u= ; y'=u'x+u Уравнение (4) преобразуют к виду:u'x+u=F(u); u'= Пример: xy'=y-x
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 207; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.245.196 (0.011 с.) |