ТЕМА 3 «Пересечение прямых и плоскостей»

Задачи по теме 3 выдаются на третьей неделе, после проведения практического занятия 3 и лекции 2 [1, 2, 5, 6].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) пересечение прямой и плоскости (общие и частные случаи);

б) понятие конкурирующих точек для определения видимости;

в) способы нахождения линии пересечения плоскостей общего и частного положений.

3.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Построение прямой, пересекающей плоскость общего положения»

 

При решении вопроса о положении прямой относительно плоскости следует помнить, что:

а) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости;

б) прямая принадлежит плоскости, если проходит хотя бы через две точки, принадлежащие плоскости;

в) прямая пересекает плоскость, если не удовлетворяет первым двум требованиям.

Следуя приведенным выше соображениям, оценим взаимное положение прямой l и плоскости Δ ABC, показанных на рисунке 10.

 

а б

 

Рисунок 10 ‑ Определение точки пересечения прямой l с плоскостью Δ ABC

 

Если прямая l принадлежала бы плоскости треугольника, то обе проекции отрезка 1₁-2₁ и 1₂-2₂ совпали бы с проекциями прямой. Если бы прямая l и ΔАВС были бы параллельны, то проекции 1₁-2₁ и l₁ и проекции 1₂-2₂ и l₂ были бы соответственно параллельны. Так как прямая l и не принадлежит, и не параллельна плоскости, то очевидно, что прямая l пересекает плоскость ΔАВС и имеет с ним общую точку К (рисунок 10б).

При решении задачи на рисунке 10 обязательно определяют видимость для прямой и плоскости. Это делается с помощью метода конкурирующих точек (подробнее смотрите на рисунке 12). В точке 2₂ находятся две фронтально конкурирующие точки: одна принадлежит прямой l, вторая ‑ стороне АВ. На горизонтальной проекции дальше от оси х лежит точка, принадлежащая прямой АВ. Это означает, что на фронтальной проекции сторона АВ находится над прямой l.

Если прямая ‑ общего положения, а плоскость ‑ частного положения, то решение вопроса об их взаимном положении не требует дополнительных построений. На рисунке 11 прямые l и n пересекают плоскости в точке К.

а б

Рисунок 11 ‑ Пересечение прямой с плоскостями частного положения:

а) ΔАВС ‑ фронтально проецирующий; б) плоскость AB//CD задана параллельными прямыми и является горизонтальной плоскостью уровня

 

Определение видимости участков пересекающихся прямых и плоскостей осуществляется с помощью конкурирующих точек. На рисунке 12а изображены горизонтально конкурирующие точки А и В, а на рисунке 12б изображены фронтально конкурирующие точки C и D. Горизонтально конкурирующая точка А является видимой на горизонтальной проекции, так как ее фронтальная проекция наиболее удалена от оси х. На фронтальной плоскости (рисунок 12б) видимой является проекция точки D, так как ее горизонтальная проекция наиболее удалена от оси х.

 

а б

Рисунок 12 ‑ Горизонтально конкурирующие (а)

и фронтально конкурирующие (б) точки

 

 

Порядок построения задачи 3.1:

а) постройте треугольник АВС и прямую ДЕ по координатам;

б) найдите точку пересечения К;

в) определите видимость.

Пример решения задачи 3.1 дан на рисунке 13.

 

 

Рисунок 13 ‑ Пример решения задачи 3.1

 

3.2 Пересекающиеся плоскости

 

На рисунке 14а приведены плоскость общего положения, заданная Δ АВС, и горизонтально проецирующая плоскость a. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆ АВС и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС Δ АВС с проецирующей плоскостью a. Построение точек D и Е, как на пространственном чертеже, так и на эпюре (рисунок 14б), не вызывает затруднений.

а б

 

Рисунок 14 ‑ Пространственный чертеж и эпюр сечения плоскости Δ АВС горизонтально проецирующей плоскостью α

 

Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆ АВС и плоскости a.

Таким образом, горизонтальная проекция D₁E₁ линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости a (с ее горизонтальным следом a₁).

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a и b (рисунок 15). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие для обеих плоскостей.

 

 

Рисунок 15 ‑ Пространственный чертеж построения линии пересечения

двух плоскостей общего положения a и b

 

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рисунке 15 первая вспомогательная плоскость уровня g каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h₁, которые определяют точку 1, общую для плоскостей a и b, а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость d, например, также параллельную Н (П₁), получим еще одну точку – 2, принадлежащую плоскостям a и b. Эта точка определяется пересечением горизонталей h₂ и h₃, по которым вспомогательная плоскость d пересекает каждую из данных плоскостей.

Описанный метод применен для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая – тремя точками (рисунок 16). С помощью вспомогательной плоскости g найдена точка 1 как точка, в которой пересекаются горизонтали h и h₁. Точно так же с помощью плоскости d определена вторая точка – 2.

 

Рисунок 16 ‑ Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения a и b на эпюре

 

Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость, что и сделано на рисунке 17, где построена линия 1–2 пересечения плоскостей a (∆ АВС) и b (∆ DEF).

Точка 1 этой линии определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости g, проведенной через сторону DЕ треугольника DEF.

Именно эта сторона, проекции которой заданы, и является линией пересечения плоскости треугольника DEF и g (DE = b ∩ g).

Видимость сторон треугольника определена с помощью конкурирующих точек.

 

 

Рисунок 17 ‑ Вспомогательные проецирующие плоскости,

проведенные через стороны треугольников

 

На рисунке 17 в точке K₂ находятся две конкурирующие точки: одна принадлежит проекции прямой D₂E₂, а вторая проекции стороны А₂С₂.

На горизонтальной проекции дальше от оси х лежит точка, принадлежащая прямой D₁E₁. Это означает, что на фронтальной проекции сторона DE находится над прямой АС.

Аналогично, проведя через сторону ВС горизонтально проецирующую плоскость d, найдем точку 2. На рисунке 17 прямая ВС = d ∩ a, а MN = d ∩ b. Пересечение этих прямых определяет точку 2. Причем ее фронтальная проекция 2₂ была построена раньше, чем 2₁.

В тех случаях, когда одна из заданных пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения, построение линии их пересечения значительно упрощается. На рисунке 18а одна из заданных плоскостей (плоскость Δ DEF) является горизонтально проецирующей. Построение линии пересечения этих плоскостей свелось к построению фронтальных проекций точек 1 и 2, принадлежащих искомой линии. На рисунке 18б одна из плоскостей (плоскость ab // cd) является фронтально проецирующей. Построение линии пересечения свелось к построению горизонтальной проекции точек 1 и 2.

 

 

а б

Рисунок 18 ‑ Примеры пересечения плоскости частного положения