Каждая прямая разбивает плоскость на 2 части

L’: a’x+b’y+c’=0

a’x+b’y+c’>0 –П- полож.полупл.

А и Вв разных полуполск. [AB] пересек. L’

A и B в одной плоскости тогда отрезок AB не пересекает L’

A=(x₁y₁) B=(x₂y₂)

L: ax+by+c=0

Aͼ П⁺ó a’x₁+b’y₁+c’>0

Bͼ П^- ó a’x₂+b’y₂+c’<0

f(M)=f(x,y)=ax+by+c

f(A)=ax₁+by₁+c=ax₁+(kx₁+b)+c>0

f(B) =ax₂+by₂+c=ax₂+(kx₂+b)+c<0

f(x)=f(x,kx+b)=ax+b(kx+b)+có линейная ф-ия одной переменной

f(A)=f(x₁)>0

На концах отрезка прин. разные знаки:
f(A)=f(x₁)>0

f(A)=f(x₂)<0 Ǝ!x=ξ

M(ξ,kξ+b), то f(M)=0=f(ξ₁)=> MͼL

a’ξ+b’(kξ+b)+c=0

MͼL Mͼ[AB] L∩[AB]=M что и т.д.

3гр. длина отрезка [AB]

1 A=(x₁y₁) B=(x₂y₂)

|AB|=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

|AB|=√ (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²=(x₂-x₁)√1+k²

|AM|+|MB|=√ (x-x₁)²+(y-y₁)²+√ (x₂-x)²+(y₂-y)²=(x-x₁)√1+k²+(x₂-x)√1+k²=(x₂-x₁)√1+k²=|AB|

что и т.д.

Об откладывании треугольника

Треугольник откладывается нужным образом с помощью движений

Геометрия Лобачевского.

Сущ 3 класса метрических геометрий

1. Евклидова геометрия

2. Сферическая геометрия(в другом варианте эллиптичгеом Римана)

3. Неевклидова геометрия Лобачевского.

Евклидова геом (Начала Евклида 3001 до н.э) Позднее было описание сфер геом. Исследование 5 постулата на основании аксиом Евклида. На ходе эти док-ва содержали ошибки, тем не менее они фактически способствовали открытию некоторых фак-в неевклгеомлобачевского.

Практически все крупнейшие мат-ки средних веков и нового времени занимались док-вом 5 постулата, имели след причину:неверноисп утверждения как бы очевидное но эквиволентное постулату

Примеры. Утверждэкв 5 постулату.

1) Если 2 прямые на пл-ти не пересек, то расстояние от точки одной прямой до второй(длины периода) постоянна или ограничены в совркупности. Рис

1. l₁∩l=пустому мн-ву. А₁А перпендикулярно lро(А₁А)=|А₁А|=ро(А₁l)

1.1 p(А1,l)=const; |p(А₁l)|<k для любых А₁

2) Сумма углов в треугол (любого) равна 180.

Док-во. Аксиома паралельности(через В сущl₁||l)=> в треугол АВС сумма углов=180 или пи.

l₁∩l=пустому множеству.

Из единственности паралел прямых =>l^/=l^//, следов α+β+γ=180 как развернутый угол сумма углов в треуг АВС

3)Рис. Сумма углов в треугол постоянная=>сумма углов =180.

Система: Ԑ₁+Ԑ₂=п

f₁+f₂=п по предположению α+β+γ=α+Ԑ₁+f₁ (**)

Сумма EFBC: β+γ+ Ԑ₂+ Ԑ₁+ f₂ (***)

И з (*)=> Ԑ₁+Ԑ₂₊f₁+f₂=2п

(**)=>β+γ+ Ԑ₂+f₂=2п

4) Рис. Сущпрямоугол и квадраты 4-х угольники Ламберта

Угол А=углу В=углу С=п/2; δ=углу Д=1

1.δ<=п/2(δ>=п/2 не может быть.

2.δ=п/2 евклидова геометрия

3.δ<п/2

Гипотеза острого угла. Предпологая, что выполняется гипотеза он предпологал найти противоречие. Он заметил, что между фор-ми неевклгеом и фор-ми сферичгеом есть сходство.Онпредпологал, что это геомвыпол на какой-то мнимой сфере.

5) Площади треугольников неограничены в совокупности т.есущ треугольники неограниченно большой площади

Рис. δ₁<δ₂<δ₃. Строго возрастаем мб предел ≠0.

Рис. Кси-аюсолют. Uvt- предельный треугол.

Площадь любого треугол будет < предельного, поэтому ограничены

6) Через любые 3 неколлинеарные точки можно провести окружность(в неевклидгеомлобач кроме прямых и окр есть орициклы и эквидистанты)

7) Сущ подобные, но неравные треугол. В неевклгеом имеет место 4-ый признак равенства: если углы треуголсоотв равны, то треугол равны. На сфере мы выйдем на сферу др радиуса.

Замечание. Все евклгеом данной размерностиизоморфны (изометричны)

Сферы могут быть произвол радиуса. В неевклгеомсущпл-ти для любого радиуса

8) Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой в этой же пло-типаралельноl.

1826 г Лобач сделал доклад о сущнеевклгеом в которой выпол все аксиомы евклгеом за одним источникам:вместо аксиомы паралельности Евклида выполакспаралельностиЛобач:через точку вне прямой в данной пл-ти проходят по крайней мере 2 прямые не пересекающие данную. Рисунок. Из этой акс след, что через точку Апрох бесконечно много прямых пересек данную и сущ 2 положения таких прямых мд которыми все остальные прямые находятся. l₁∩l=пустому множеству. L₂∩l=пустому множеству.

Рис. Отрезок [BD₁] разбив на 2 x₁ᴗx₂=[BD₁]. Если E₁?x₁, то AE₁ пересекает l. Если D₂?x₂, то AD₂ не пересекает l. По св-вудейст чисел сущ граничная точка F, кот разделяет х₁ и х₂т.е если берем точку выше F-не пересекает, если ниже-пересекает cl. Покажем. Что F?x_2,,AF пересекает l. Предпол, что AF∩l=F^/_, x₁∩ x₂=пустому мн-ву.F?x₁, AF∩l=пустому мн-ву. F₁(справа от F^/), AF₁^/∩BD₁=F₁, AF₁^/∩BD=F₁, F₁?x₂(т.кF граничная точка,AF₁пересl => против)

Прямая AF-предельное положение среди всех прямых пересl, симметрично относ ABсущ предельно положAC. Эти 2 прямые назпаралельнымиl справа и слева остальные прямые m₁m₂ не пересек lназыв расходящимися с l.

Зависит от x(α=п(х), x=|AB)-|угол паралельности. В Евклгеомгеом α=п/2/ α=П(х)=2arctgl^–x/RгеоЛобач где R-радиус кривизны пл-ти лоб; R-большое, то x/Rприбл=0, αприбл=п/2.

При больших радиусах кривизны угол паралел-ти не отличен от прямого. Отличие ральнойгеом от Евкл может выразится в сумме углов треугол. Если оно меньше п, то геомнеЕвкл. ЛОбачпредпол изменить углы треугол с вершинами наход в звездах.

В конце 20 в было установлено что расшир вселенная в различных постр этого расширения(замедл, пост, ускор) соотв 3 классич геом. Вариант ускорения расширения вселенной соотв гипербол геоЛобач, на небольшом расстоянии различны Евкл.,неевклгеом не могут быть измерены

Классические геометрии.

Наиб.общими пр-вами явл. топологические и метрические пр-ва.

Вводится Риманова метрика

2 2 2

ds =g11 dx +2g12dxdy +g22dy

Далее вычисляется кривизна К многообразия

л=0-евклидова геометрия

к<0- геометрия Лабочевского

к>0- сферич или элиптич геометрия Римана

Различия:

Сферичгеом в любойточке к=1/R>0

Сферич прямые представимы в виде окр

Евклидова геом и сферичгеом исследованы

Неевклгеом Лобачевского содержит много проблем и она сложнее евклидовой и сферич,но между ними есть зависимость.

Пл-стьЛобочевского и евклидова пл_тьгомоморфичны.

в трехмерное евклидово пр-во помещена и двумерная сфера, а пл-ть Лобачевского нет.

Смысл геом. Лобачевского:

1в трехмерном евклидовом пр-ве сущповерхности,на кот сущсферичечкая геометрия

2Евклидова геометрия орисфере

3 двумерная геом Лобачевского на эквидистанной поверхности

Виды классич. геом.:

1евклидова

2 Лобачевского

3 сферич и эллиптич Римана