Вычисление определителей второго порядка.

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

1. 1.коммутативность: A+B = B+A;

2. 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

 

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

Свойства умножения матриц:

a. 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

b. 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

c. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

d. 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

e. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

 

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор

где — коэффициенты разложения:

1. если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
2. если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение матриц и терминах линейных комбинаций:

1. столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
2. строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .

 

Теорема

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.

14 Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Минором порядка k матрицы А называется детерминант некоторой ее квадратной подматрицы порядка k.

В матрице А размеров m x n минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка, если они существуют, равны нулю.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными столбцами и строками А.

Теорема 1. (О ранге матрицы). У любой матрицы минорный ранг равен строчному рангу и равен столбцовому рангу.

Теорема 2.(О базисном миноре). Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Рангом матрицы (или минорным рангом) называется порядок базисного минора или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Ранг нулевой матрицы по определению считают 0.

Отметим два очевидных свойства минорного ранга.

1) Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются и миноры не меняются.

2) Если А’-подматрица матрицы А, то ранг А’ не превосходит ранга А, так как ненулевой минор, входящий в А’, входит и в А.

15. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на матрицу). Линейная комбинация векторов.

Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором.

Числа называются координатами вектора.

Два (ненулевых) вектора a и b равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов. Для сложения векторов есть два способа.1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и . По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов. Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны. Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и .

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

1. 1.коммутативность: A+B = B+A;

2. 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

 

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

Свойства умножения матриц:

a. 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

b. 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

c. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

d. 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

e. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

 

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор

где — коэффициенты разложения:

1. если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
2. если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение матриц и терминах линейных комбинаций:

1. столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
2. строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .

 

Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

 

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.

 

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

 

+ + - - -

Основные свойства определителей:

1. Опр-ль не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.

2. Опр-ль изменит знак на противоположный, если переставить местами любые 2 строки(2 столбца) определителя.

3. Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Опр-ль равен нулю, если содержит нулевую строку(столбец), две одинаковые или противоположные строки(столбца).

5. Опр-ль не изменится, если к какой-либо строке(столбцу)прибавить другую строку(столбец) умноженное на любое число.

6. Опр-ль треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

 

 

7.Метод Крамера для решения СЛАУ и условия их применимости

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

- определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

8 Метод Гаусса решения СЛАУ и условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.

метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Достоинства метода:

a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

9 Преобразования СЛАУ, выполняемые методом Гаусса (можно на примере). Нахождение общего решения СЛАУ. Частные решения СЛАУ.

 

1) из элементов строки 2 вычитаем элементы строки 1, умноженные на 2;
2) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1;
3) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2;
Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:
, откуда находим .
Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

, откуда находим .
Подставим, ранее найденное, значение переменной

, или .
Итак, общее решение исходной системы уравнений есть

где и - свободные переменные.
Вы можете получить частное решение данной системы, выбрав для свободных переменных произвольные значения.

10 Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю:Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A*A^-1=A^-1*A=E где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.