Правила округления значений погрешности и результата измерений

Рассчитывая значения погрешности, особенно при пользовании электронным калькулятором, значение погрешности получают с большим числом знаков. Однако исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности средства измерений и класс точности, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только первые одна-, две значащих цифры.

При этом приходится учитывать следующее обстоятельство. Если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приведет к очень большой ошибке (до 30¸50 %), что недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т.е. указание погрешности, например, 0.94 вместо 0.9, является дезинформацией, т.к. исходные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого, на практике установилось следующее правило: если полученное число начинается с цифры равной или большей, чем , то в нем сохраняется лишь один знак. Если же оно начинается с цифр, меньших 3, т.е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют два знака.

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие три правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения.

Правило 1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая их них равна 1 или 2, и одной – если первая цифра равна 3 и более.

Правило 2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Правило 3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

Пример. На вольтметре класса точности 2.5 с пределом измерения 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения х = 267,5 В. Определить абсолютную и относительную погрешности измерения, произвести округление их значений и округление результата измерения. Представить результат измерения.

Решение. Здесь класс точности указан числом без кружочка, следовательно, абсолютную погрешность находим по формуле

,

где g ₀=2.5, а Х _к=300 В. Тогда

.

Т.к. 7>3, то D(х) округляем до 8 В.

Относительная погрешность определится по формуле

Т.к. 2<3, то в ответе должны быть сохранены два десятичных разряда, поэтому d _отн.(х) округляем до 2.8 %.

Далее необходимо округлить полученное значение напряжения х =267,5 В. Оно должно быть округлено (см. правила 2) до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности, т.е. до целых единиц вольт x = 267.5 В» 268 В.

Представление результата. Измерение произведено с относительной погрешностью d _отн.(х)= 2.8 %. Измеренное напряжение х = 268 В лежит в интервале неопределенности

260 В < х < 276 В.

 

6.3. Правила приближенных вычислений

 

В приближенных и точных числах значащими цифрами (знаками) называют все цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, цифра 0 тоже является значащей, если она стоит в середине числа или на его конце. Например, в числах 250; 205; 20500; 20,5; 2,005; 20,00 все цифры являются значащими. Нуль не является значащей цифрой, если он стоит с левой стороны в десятичной дроби, т. к. в этом случае от него не зависит значность числа, выраженного десятичной дробью. Например, 0,23; 0,039; 0,0365; 0,0033.

Верными знаками являются те, за точность которых можно ручаться. В приближенном числе последняя цифра (справа) не является точной и называется сомнительной. Например, в приближенном числе l =13,84 мм, погрешность которого 0,01 мм, цифра 4 (сотые доли) сомнительна, т.к. истинное значение числа лежит в интервале от (13,84 - 0,01) до (13,84 + 0,01) мм. Таким образом, в приближенном числе сомнительная цифра принадлежит к тому же разряду, что и разряд первой (слева) значащей цифры в абсолютной ошибке. Тогда в приближенном числе 943, имеющем абсолютную погрешность 21, цифра 4 сомнительна, а цифра 3 подавно сомнительна и ее надо заменить нулем. Не отбросить, а заменить, чтобы сохранить значность данного приближенного числа. Итак, 940±20, или (94±2)×10. В приближенном числе 27,352, имеющем абсолютную погрешность 0,01, цифра 5 сомнительна, а цифра 2 подавно сомнительна, но ее можно отбросить, т.к. значность числа не изменится. Итак, 27,35±0,01.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окон­чательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из при­ближенных данных.

Например, при сложении чисел

4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04.

2.При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения

3,723×2,4×5,1846

следует вычислять выражение

3,7×2,4×5,2.

В окончательном результате следует оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.
Например,

1,32²»1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,

.

5. При отбрасывании сомнительных цифр следует помнить:

- если отбрасываемая (n + 1) цифра меньше 5, то остающаяся n-я цифра не меняется (пример: 10,132 после округления 10,13);

- если отбрасываемая (n + 1)-я цифра равна или больше 5, то остающаяся n-я цифра увеличивается на 1 (пример: 9,836 после округления 9,84).

 

 

ЛЕКЦИЯ 7