Управление системами и процессами

Романова И.П., Романов П.С.

 

УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ И ПРОЦЕССАМИ

Учебное пособие

(контрольная работа)

 

 

Для направлений подготовки: 151900.62 Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств.

Профиль подготовки: «Технология машиностроения»;

 

Заочная форма обучения

 

Коломна – 2014 г.

 

УДК 621.9.06-5

ББК 34.63-5

Р69

 

Авторы: Романова Ирина Петровна, Романов Петр Сергеевич

 

Рецензенты: Новиков Валерий Гурьевич, доктор технических наук, профессор,

профессор кафедры автоматизации производства и информационных технологий

Коломенского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Московский государственный

машиностроительный университет (МАМИ)»

Кириленко Николай Яковлевич, доктор инженерных наук, профессор кафедры

машиноведения ГАОУ ВПО МГОСГИ

 

Кафедра «Автоматизации производства и информационных технологий»

Р69 Романова И.П., Романов П.С.

Управление системами и процессами: учебное пособие (контрольная работа) / И.П. Романова, П.С. Романов; под общ. ред. Романова П.С. – Коломна: КИ (ф) МГМУ (МАМИ), 2014. – 66 с.

 

В учебном пособии приведены принципы построения и работы основных элементов систем числового программного управления (ЧПУ); рассмотрены основные логические функции и основные законы и теоремы алгебры логики; базисные логические элементы, применяющиеся для построения электронных схем систем ЧПУ, изучаемые в дисциплине «Управление системами и процессами», необходимые для выполнения студентами самостоятельно контрольной работы. Приведены примеры решения задач, контрольные задания, справочные данные и литература для их выполнения.

Учебное пособие предназначено для студентов заочной форм обучения высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки: 151900.62 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», профиля подготовки: «Технология машиностроения».

Рекомендовано к печати решением учебно-методического совета КИ (ф) МГМУ (МАМИ) от «25» __ февраля ___2014 г. № _ 6 _

 

©Романова И.П., Романов П.С., 2014

© Коломенский институт (филиал) ФГБОУ ВПО "Московский государственный

машиностроительный университет (МАМИ)", 2014

 

Оглавление

стр.

Список основных сокращений …………………………………….4

Введение ………………………………………………………………5

Глава 1. Методические рекомендации по выполнению

контрольной работы …………………………………….7

§1.1. Методические указания по выполнению контрольной

работы…………………………………………………………...7

§1.2. Структура и порядок оформления отчета ……………………7

§1.3. Рекомендуемая литература для выполнения контрольной

работы…………………………………………………………...8

Глава 2. Применение теоретических положений алгебры

Список основных сокращений

 

АЦП - аналого-цифровой преобразователь;

ДНФ - дизъюнктивная нормальная форма функции;

КНФ - конъюнктивная нормальная форма функции;

ПК - персональный компьютер;

ПЭВМ – персональная электронная вычислительная машина;

СДНФ - совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции;

СКНФ - совершенная конъюнктивная нормальная форма функции;

СЧПУ - система ЧПУ;

ЧПУ - числовое программное управление.

 

Введение

 

Целью контрольной работы, которая выполняется студентами заочной формы обучения самостоятельно в период между сессиями, является закрепление знаний, полученные на лекциях, анализ полученных результатов и их применение для решения практических задач.

В ходе выполнения контрольной работы студенты должны:

ознакомиться с основными функциями и принципами построения систем числового программного управления (ЧПУ), со способами построения схем на основе базисных логических элементах, с методами минимизации логических функций;

изучить основные требования, предъявляемые к системам ЧПУ, принципы построения и работы основных элементов этих систем; основные логические функции и основные законы и теоремы алгебры логики; базисные логические элементы, применяющиеся для построения электронных схем;

приобрести умения и навыки:

в расчете и исследовании электронных схем устройств системы ЧПУ;

в применении теоретических положений алгебры логики для составления и минимизации логических функций;

в производстве расчетов в двоичной системе счисления.

в построении электронных схем на базисных логических элементах.

в анализе сложных электронных схем и обобщении полученных результатов.

Рекомендуется для производства расчетов применять ПЭВМ.

Глава 1. Методические рекомендации по выполнению

Контрольной работы

Работы

Контрольная работа выполняется студентами самостоятельно в межсессионный период. Отчет проводится в установленное расписанием время. Рекомендуется для производства расчетов применять ПЭВМ.

Студенты должны самостоятельно изучить соответствующие разделы теоретического курса. С примерами решения задач и основным теоретическим материалом студенты знакомятся на лекциях и лабораторных занятиях, а также при самостоятельно изучении рекомендованной для изучения литературы. В данной учебном пособии кратко приводится необходимый теоретический материал, а также примеры решения задач.. Отчет выполняется в электронном виде с использованием интегрированного пакета Microsoft Office for Windows (версии XP, 2000 и более поздние версии), включающего в себя приложения: Word – текстовый процессор; EXCEL – табличный редактор.

Для производства расчетов при решении задач могут применяться стандартные пакеты программ (типа TURBO DELFI, EXCEL).

 

§1.2. Структура и порядок оформления отчета

 

По материалам работы каждым студентом составляется отчет по установленной форме. Отчет должен быть оформлен аккуратно с четким, подробным заполнением всех разделов и в полном соответствии требованиям ГОСТ по оформлению текстовых документов. Отчет должен содержать все таблицы с расчетами, выполненными на базе табличного процессора Microsoft EXCEL (других стандартных пакетов программ) и графики, построенные на их основе. К отчету прилагаются программы расчетов, составленные с помощью стандартных пакетов программ, в электронном виде.

Кроме того, отчет должен содержать:

1. Исходные данные по каждому заданию в виде таблицы, созданной в табличном процессоре Microsoft EXCEL.

2. Анализ полученных результатов исследований и выводы по работе. Выполнение чертежей, рисунков, диаграмм проводится с использованием ПЭВМ. Графики строятся на координатных осях с указанием масштаба и откладываемых физических величин. При построении на одной системе координат нескольких графиков (кривых), их точки отмечаются различными значками. Каждый график должен иметь название и лаконичный текст, поясняющий его целевое назначение, параметрическую зависимость и характерные особенности. Особое внимание при оформлении отчета обучаемые должны обратить на составление выводов по выполненным заданиям. В выводах нужно сопоставить результаты проведенных расчетов с известными из теоретического курса закономерностями и указать причины наблюдаемых отклонений. Полностью оформленный отчет представляется каждым обучаемым преподавателю в установленное расписанием время. Представленные в отчете расчеты, порядок их получения и обработки обучаемые обязаны уметь четко пояснить.

За проведенную работу, оформленный отчет и по результатам выполнения контрольных заданий преподаватель выставляет дифференцированную оценку, с указанием замечаний.

 

§1.3. Рекомендуемая литература для выполнения контрольной

Работы

 

а) основная литература:

1. Смоленцев В.П., Мельников В.П., Схиртладзе А.Г. Управление системами и процессами. – М.: Академия, 2010. – 336с.

2. Романов П.С. Задачи программного управления. Учебное пособие. - Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2009. - 116 с.

3. Романов П.С. Управление системами и процессами. Часть 2. Элементная база устройств систем числового программного управления. Учебное пособие. – Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2008. – 142 с.

4. Романов П.С.Устройство систем числового программного управления. Учебное пособие. - Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2010. 124 с.

5. Романов П.С. Управление системами и процессами. Часть 3. Типовые узлы устройств системы числового программного управления. Учебное пособие. – Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2008. – 126 с.

6. Романов П.С. Управление системами и процессами. Учебное пособие (лабораторный практикум). – Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2013. – 76 с.

7. Романов П.С. Управление системами и процессами. Учебное пособие (контрольная работа). – Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2014. – 36 с.

б) дополнительная литература:

1. Сосонкин В.Л., Мартинов Г.М. Системы числового программного управления: Учеб. пособие. - М.: Логос, 2005. - 296 с.

2. Сосонкин В.Л. Программное управление технологическим оборудованием: Учебник для вузов по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств». – М.: Машиностроение, 1991. – 512 с.

3. Миловзоров О.В., Панков И.Г. Электроника. – М.: Высш. шк., 2004,.- 288 с.: ил.

4. Босинзон М.А. Современные системы ЧПУ и их эксплуатация. – М.: Изд. центр «Академия», 2006. – 192 с.

5. Опадчий Ю.Ф., Глудкин О.П., Гуров А.И. Аналоговая и цифровая электроника. Под ред. О.П. Глудкина. – М.: Горячая линия - Телеком, 2005.

6. Браммер Ю.А., Пащук И.Н. Цифровые устройства: Учебное пособие для вузов. – М.: Высш.шк., 2004, 298с.

7. Псигин Ю. В. Управление системами и процессами машиностроения: Учебное пособие / Ю. В. Псигин. – Ульяновск: УлГТУ, 2003. – 76 с.

Функций

Двоичная система счисления.

 

Последующее изложение материала требует некоторых сведений о двоичной системе счисления. Напомним, что основанием десятичной системы счисления (десятичного кода) является число 10, используемых цифр — десять: 0,1,2,... 9, а цены («веса») единиц в соседних разрядах отличаются в 10 раз. В этой системе любое число представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 10. Так, например, число 38₁₀ (индекс 10 указывает на запись числа в десятичной системе счисления) выражается суммой: 38₁₀ = 3•10¹+8•10°, где основание системы 10 возводится в нулевую степень (в первом, младшем разряде), в первую степень (во втором разряде), а коэффициентами ряда являются цифры 3 и 8, последовательное написание которых представляет рассматриваемое число.

В двоичной системе счисления основанием системы является число 2, используемых цифр две: 0 и 1, а «веса» единиц в соседних разрядах отличаются вдвое. Число в двоичной системе исчисления представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 2. Так, число 38₁₀ выражается следующим рядом по степеням 2:

38₁₀= 1•2⁵ +0•2⁴+0•2³+1•2²+1•2¹+0•2°=10110₂,

где индекс 2 указывает, что данная совокупность цифр выражает число в двоичной системе счисления (является двоичным кодом числа). Как следует из последнего примера, двоичный код формируется так же, как десятичный; его разряды — коэффициенты в разложении числа по степеням основания (в данном случае — по степеням 2).

Рассмотренный двоичный код (у которого «веса» единиц в соседних разрядах отличаются вдвое) называется натуральным двоичным кодом. В таком коде было записано приведенное ранее число.

Преимуществом двоичной системы счисления является то, что она использует только две цифры. Поэтому в аппаратуре для выполнения операций над числами в двоичной системе счисления (над двоичными числами) достаточно пользоваться двумя значениями, к примеру, напряжения. Наряду с этим, в двоичной системе счисления число имеет большее количество разрядов, чем в десятичной, что является ее недостатком.

Нередко в цифровых устройствах используют смешенное — двоично-десятичное представление числа. Аналогично представлению в десятичной системе счисления оно составляется десятичными разрядами единиц, десятков, сотен и т. д. Однако цифра в таком десятичном разряде представлена в двоичной системе счисления (двоичным кодом). Так как наибольшей цифрой в десятичном разряде является 9, то он должен содержать четыре двоичных разряда (тетраду). Двоично-десятичное представление числа используется, в частности, в системах индикации, когда число индицируется в привычной десятичной системе счисления, а его каждый разряд может формироваться элементами, работающими с двоичными кодами.

 

Цифровые сигналы.

 

Цифровой сигнал формируется из аналогового сигнала аналого-цифровым преобразователем (АЦП), который нередко называют преобразователем аналог - код. Такое преобразование сводится к тому, что из аналогового сигнала периодически производятся выборки мгновенных значений (сигнал дискретизируется; теперь он существует в определенные, дискретные моменты времени). Затем осуществляется квантование сигнала: «высота» каждой выборки округляется до ближайшего разрешенного уровня (уровни квантования). После этого сигнал представляется совокупностью выборок, существующих в дискретные моменты времени, каждая из которых может иметь только конечное (не бесконечное) число значений. Поэтому каждое из этих значений может быть оцифровано (что невозможно при бесконечном числе значений), в частности, двоичным числом (двоичным кодом). Разряд кода выборки представляют обычно уровнем потенциала: единицу в разряде — высоким уровнем (U¹), нуль — низким (U⁰), а разряды кода выборки в целом представляются последовательностью U¹ и U⁰. Совокупность таких последовательностей, каждая из которых выражает квантованный уровень соответствующей выборки, является цифровым сигналом.

На выходах АЦП последовательность U¹ и U⁰, соответствующая одной выборке, сменяется последовательностью, соответствующей следующей выборке и т. д. (Обычно говорят: код одной выборки сменяется кодом другой.)

Высокий уровень U¹ представляющий единицу в разряде кода, называют «логическая единица», а низкий уровень U⁰, представляющий нуль в разряде кода, — «логический нуль». Нередко эти уровни называют логическими потенциалами. Кроме использованного соответствия (в цифровом сигнале уровнем большего значения представляется 1 в разряде кода, а уровнем с меньшим значением — нуль) применяется и обратное (уровень сигнала с большим значением представляет нуль, а уровень с меньшим значением — 1 в разряде кода). Цифровой сигнал можно представить в параллельной и в последовательной формах. В первом случае уровни, выражающие цифры (0 или 1) в разрядах кода квантованной выборки, появляются одновременно, параллельно. При этом количество линий передачи, а также однотипных элементов устройства, обрабатывающих такой сигнал, соответствует его разрядности. Однако во многих случаях это компенсируется скоростью обработки. При представлении цифрового сигнала в последовательной форме (последовательным кодом) уровни, выражающие цифры в разрядах кода выборки, сменяют друг друга, т. е. появляются последовательно; каждый остается неизменным в течение так называемого тактового интервала; на его границе уровень потенциала изменяется, если следующая цифра двоичного кода отличается от предыдущей.

 

Логические сигналы.

 

Логические сигналы занимают особое место в цифровых устройствах.

Цифровые сигналы отражают числовые значения физических величин — напряжение, температуру, механическое усилие и др. При измерении неэлектрических величин последние преобразуются в электрические, которые затем подаются на вход АЦП для получения цифровых сигналов.

Наряду с ними в цифровых устройствах действуют сигналы, появление которых связано с наступлением или ненаступлением какого-либо события. Такие сигналы тоже являются двоичными, т. е. представляются двумя уровнями потенциала — высоким (U¹) и низким (U⁰), либо наличием и отсутствием импульса. Один из этих уровней кодируется (представляется) логической единицей, а другой — логическим нулем. Поэтому их тоже относят к цифровым сигналам, хотя они имеют совершенно другой смысл. Чтобы ощутить разницу между этими видами сигналов, обратимся к сравнивающему устройству — компаратору. Когда два двоичных числа на его входах окажутся равными, на одном из выходов появится потенциал определенного уровня, свидетельствующий о наступлении события — равенстве кодов. Точно такой же сигнал появится на этом выходе при равенстве чисел совсем другой величины. Сигнал такого же уровня будет на другом выходе компаратора, если одно число меньше другого, причем величина их разности никакого влияния на величину этого сигнала не оказывает.

Описанные сигналы на выходах компаратора имеют одинаковые значения. Разработчики аппаратуры предусматривают их появление как ответ на наступление того или иного события вне зависимости от его содержания (числа оказались одинаковыми, одно число стало больше другого, некоторое преобразование закончилось и т. д.), важны лишь истинность события или его ложность.

Наличие или отсутствие описанных сигналов и порождающие их условия связаны выражениями типа «если..., то...» и другими логическими связями. Поэтому такие сигналы называют логическими. Это название связано с тем, что аналогичные условия между причиной и следствием являются предметом обсуждения и изучения в логике.

Формальная логика — наука о законах и формах человеческого мышления — оперирует с высказываниями вне зависимости от их содержания, учитывая только их истинность или ложность. Истинные высказывания: «Электрический ток существует только в замкнутой цепи», «Архангельск расположен в Северном полушарии»; ложные: «Кит — теплолюбивое растение», «Ангара -+-приток Волги».

Высказывания и события бывают простые и сложные. Простое содержит только один факт, не зависящий от других фактов, т. е. само по себе может быть истинным или ложным. В приведенных выше примерах высказывания — простые. Сложное высказывание содержит несколько простых высказываний, например: «Я пойду в кино, если не будет дождя и со мной пойдет приятель». Появление сигнала на любом входе многовходового устройства соответствует наступлению простого события, а появление ожидаемого сигнала на выходе устройства — результат действия всех входных сигналов — соответствует наступлению сложного события.

Введение в формальную логику ограниченного числа логических связок (они будут описаны далее), допускающих лишь строго определенное толкование, позволило однозначно представлять сложное высказывание (сложное событие) совокупностью простых, а введение символов, обозначающих простые высказывания, — решать логические задачи математическими средствами. Их совокупность составляет содержание алгебры логики, или булевой алгебры, названной так в честь ее создателя — английского математика Дж. Буля. В соответствии с ней истинному высказыванию (наступлению события) обычно приписывается (ставится в соответствие) символ 1 (лог. 1), а ложному (ненаступлению события) — символ 0 (лог. 0). Такое соответствие относят к классу положительной логики. Обратное соответствие относят к классу отрицательной логики.

Необходимо отметить, что применительно к логическому сигналу символы 0 и 1 никакого отношения к числовому значению сигнала не имеют. Они лишь описывают качественное состояние события, и поэтому к ним неприменимы арифметические операции. В электрических цепях эти символы обычно представляются так же, как аналогичные в цифровом сигнале: лог. 1 — высоким, а лог. 0 — низким уровнем потенциала.

Рассмотрим сложное событие: «Автомат сработает, когда будут нажаты кнопки К1, К2 и К4 или нажата кнопка К3 и не нажаты ранее упомянутые кнопки. Другие сочетания нажатых кнопок срабатывания автомата не вызывают». Здесь простые события (нажатие кнопок) внедрены в сложное событие (срабатывание автомата) с помощью союзов-связок И, ИЛИ, НЕ; состояния кнопок играют роль аргументов (переменных), над ними эти союзы осуществляют такие функциональные преобразования, которые формируют функцию — условие срабатывания автомата.

Далее простое событие будем обозначать символом х, а сложное событие, являющееся функцией простых, — символом у.

Из изложенного ранее следует, что булева алгебра оперирует с переменными, принимающими только два значения: 0 и 1, т. е. с двоичными переменными. Функция двоичных переменных, принимает те же два значения и называется логической функцией (переключательной функцией, функцией алгебры логики, булевой функцией). Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и таблицей, называемой переключательной таблицей или таблицей истинности.

 

Общие положения.

 

В отличие от аналоговых устройств, в которых информационный сигнал может принимать любые значения в некотором диапазоне, в цифровых устройствах носителем информации является цифровой двоичный код. Этот код состоит из множества двоичных разрядов, каждый из которых принимает только два фиксированных значения — «0» или «1». Двум двоичным цифрам соответствуют два состояния электронной схемы. Обычно это два фиксированных уровня напряжения, которые может принимать сигнал на выходе схемы. Поэтому все разнообразие математических операций, выполняемых цифровыми устройствами, основывается на двоичной системе счисления.

Напомним суть записи числа, означающего, например, количество «тысяча триста восемь» в десятичной системе счисления:

1308 = 1•10³+3•10²+0•10¹+8•10°;

1•1000+3•100+0•10+ 8•1; 1000+300+0+8=1308.

По сути, набор цифр «один-три-ноль-восемь» представляет собой код, т.е. перечень коэффициентов (множителей), стоящих перед числом десять (основанием системы счисления) в степени (справа — налево): нуль, один, два, три и т.д. «Вес» каждого коэффициента (цифры) определяется разрядом — позицией, которую он занимает в коде (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.). Поэтому такая система счисления называется позиционной.

В позиционной двоичной системе счисления основанием служит число 2, а коэффициентами могут быть только две цифры — ноль (0) и единица (1); поэтому, например, количество «тринадцать» запишется кодом 1101:

1101=1•2³+1•2²+0•2¹ +1•2°;

1•8+1•4+0•2+1•1;

8+4+0+1=13.

Арифметические действия в двоичной системе выполняют аналогично десятичной.

Решим несколько примеров по переводу чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно.

Пример 2.1. Записать число 38 в двоичной системе счисления.

Решение: 38₁₀ = 3•10¹+8•10°;

38₁₀= 1•2⁵ +0•2⁴+0•2³+1•2²+1•2¹+0•2°=10110₂.

Пример 2.2. Записать число 111011 в десятичной системе счисления.

Решение:

111011=1•2⁵+1•2⁴+1•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰=32+16+8+0+2+1=59;

59=5•10¹+9•10⁰.

Пример 2.3. Записать число 1000011 в десятичной системе счисления.

Решение: 1000011=1•2⁶+0•2⁵+0•2⁴+0•2³+0•2²+1•2¹+1•2⁰=64+0+0+0+0+2+1=67.

Логических функций.

 

Примеры составления логических функций.

Простую логическую функцию иногда можно записать в аналитической форме непосредственно из словесного определения. Покажем это на примере составления функций «Равнозначность» и «Неравнозначность», которые будем использовать в дальнейшем. Функция «Равнозначность» принимает значение 1, если две ее входные переменные имеют одинаковые логические потенциалы: x₁=x₂=1 ИЛИ x1=x2=0. Поэтому ее представляют как . Условное изображение элемента «Равнозначность» приведено на рис.2.3,а.

Функция «Неравнозначность» принимает значение 1, если две ее входные переменные имеют разные логические потенциалы: x₁=1, x₂=0 ИЛИ x₁=0, x₂=1. Поэтому ее представляют в следующем виде:

,

где значок - символизирует функцию «Неравнозначность».

Рис.2.3 Условные изображения элементов «Равнозначность» (а) и «Неравнозначность» (б).

 

Функцию «Неравнозначность» иначе называют «Исключающее ИЛИ». Ей присуще интересное свойство: если на один ее вход подать лог.1, то логический потенциал, поданный на второй вход, будет на выходе инвертирован; если же вместо лог.1 на один вход подать лог.0, то функция будет вести себя как повторитель логического потенциала, поданного на другой вход. Это легко проверит это самостоятельно. Условное изображение элемента «Неравнозначность» дано на рис. 2.3,б. Вместо приведенного значка (=1) используется значок m2, указывающий на то, что «Исключающее ИЛИ» функционирует по правилам сложения одноразрядных двоичных чисел (сложение по модулю 2): 1+0=1; 0+1=1; 0+0=0; 1+1=0 (при арифметическом сложении единица переносится в соседний более старший разряд).

В общем случае для получения аналитической формы функции используют таблицы истинности.

Пример 2.8. Пусть на выходе некоторого устройства должен появиться сигнал высокого уровня (лог.1, у=1), если на входах устройства действует комбинация сигналов х₁х₂х₃ из набора №1 ИЛИ из набора №2 ИЛИ из набора №3 ИЛИ из набора №6, приведенные в табл.2.4. Если на каждом перечисленном наборе конъюнкция сигналов будет равна лог.1, то на выходе устройства будет сигнал высокого уровня (U¹).

Таким образом, функция, представленная табл.2.4, запишется в виде , (2.9)

где сигналы х₁,х₂,х₃, инвертированы, если они в соответствующих наборах равны лог.0 (иначе конъюнкция не будет равна 1).

Таблица 2.4

Таблица истинности функции y

Номер набора	х3	х2	х1	y	Номер набора	х3	х2	х1	y

 

Такая форма логической функции, как указывалось ранее, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой ( СДНФ). Она представляется логической суммой простых конъюнкций, каждая из которых содержит все переменные в прямом или инверсном виде не более одного раза; в такие конъюнкции не входят суммы переменных, а также отрицания произведений двух или более переменных. Входящие в СДНФ конъюнкции называются минтермами или конституентами единиц. Логическая сумма конъюнкций, отличающаяся от (2.9) тем, что все конъюнкции или некоторые из них не содержат всех переменных (в прямом или инверсном виде), представляет собой дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) функции.

Логическую функцию можно составить не только по единичным, но и по нулевым значениям. Из табл.2.4 следует, что на наборах №№0, 4, 5, 7 у =0. Чтобы на каждом указанном наборе имело место у=0, нулю должна равняться дизъюнкция переменных из этого Набора, т.е. каждое слагаемое дизъюнкции; если в данном наборе переменная равна единице, то в дизъюнкцию должна входить ее инверсия. На всех указанных наборах функция из табл.2.4 будет равна 0, если осуществить конъюнкцию составленных дизъюнкций:

. (2.10)

Здесь у =0 обеспечивают: первый сомножитель при (при х₃=x₂=х₁=1, т. е. на наборе № 0), второй сомножитель при (при х₃=0; x₂=х₁=1, т. е. на наборе № 4), третий сомножитель при (при х₃=х₁=0; х₂ =1, т. е. на наборе № 5), четвертый сомножитель при х₃=х₂=х₁=0, т.е. на наборе № 7.

Форма, в которой выражена функция (2.10), называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Она представляется логическим произведением дизъюнкций, каждая из которых содержит все переменные в прямом или инверсном виде не более одного раза. Дизъюнкции, входящие в произведение сомножителей, называются макстермами или конституентами нулей.

Логическое произведение дизъюнкций, отличающееся от (2.10) тем, что все дизъюнкции или некоторые из них не содержат всех переменных (в прямом или инверсном виде), представляет собой конъюнктивную нормальную форму (КНФ) функции.

Так как одна и та же логическая функция, выраженная определенной таблицей истинности, записывается в СДНФ и СКНФ, то каждую из этих форм можно преобразовать в другую. Логическая функция имеет единственные СДНФ и СКНФ, что непосредственно следует из методики их построения.

 

Использованием карт Карно.

 

Карта Карно построена так, что в ее соседние клетки попадают смежные члены функции — члены, отличающиеся значением одной переменной: в один член эта переменная входит в прямой форме, а в другой — в инверсной. Благодаря этому получается наглядное представление о различных вариантах склеивания смежных членов. В карте Карно содержится столько клеток, сколько комбинаций (наборов) можно составить из прямых и инверсных значений n переменных по n членов в каждой. Так, при n=2 карта содержит четыре клетки (рис.2.4,а), при n= 3 — восемь клеток (рис.2.4,б), при n= 4 - 16 клеток (рис.2.4,в).

Каждая клетка соответствует определенной комбинации переменных. Так, например, левая верхняя клетка карты (см. рис.2.4,а) соответствует комбинации xy,: над столбцом левых клеток указан х, в прямой форме, возле верхней строки записан в прямой форме y. Наборы переменных, на которых F = 1 (в дальнейшем логическую функцию будем обозначать y), т.е. минтермы функции, отмечаются в соответствующих клетках карты 1, в остальные клетки записываются 0 или их оставляют пустыми.

Рис.2.4. Карта Карно функции для двух (а), трех (б) и четырех (в)

переменных

 

Две стоящие в соседних клетках 1 свидетельствуют о том, что в составе СДНФ имеются члены, отличающиеся значением одной переменной. Такие члены, как известно, склеиваются. Склеивание каждой пары минтермов уменьшает число входящих в них переменных на 1.

Общие правила склеивания членов, занесенных в карту Карно, следующие:

1. Склеиваться могут 2, 4, 8,... членов; при этом соответствующие 1 в клетках для наглядности охватывают прямоугольными контурами.

2. Одним контуром следует объединять максимально возможное количество клеток.

3. Одна и та же 1 может охватываться разными контурами, т. е. один и тот же минтерм может склеиваться с несколькими смежными; последнее объясняется тем, что значение функции не меняется при прибавлении уже имеющихся членов.

4. Крайние строки, а также крайние столбцы карты считаются смежными; их можно таковыми представить, если мысленно свернуть карту в горизонтальный или вертикальный цилиндр.

Функция, минимизированная подобным образом с помощью карты Карно, состоит из суммы простых конъюнкций. Каждая из них получается в результате склеивания членов, которым соответствуют охваченные контуром единицы. В такую конъюнкцию входят только те переменные, значения которых в пределах контура не меняются.

Пример 2.11. Пусть логическая функция задана таблицей истинности (см. табл.2.5). Составить СДНФ и с помощью карт Карно минимизировать ее.

Решение. По приведенной методике составим СДНФ функции:

(2.11)

Таблица 2.5

Таблица истинности функции y

Номер набора	x4	х3	x2	x1	Y	Номер набора	x4	х3	x2	x1	y

 

Из табл.2.5 в карту Карно (рис.2.5) занесем значения всех выписанных минтермов. Для удобства проверки в правом верхнем углу клетки указан номер минтерма по его месту в табл.2.5. Контурами охвачены 1, соответствующие склеиваемым минтермам. В результате функция (2.11) представляется в виде

.

Данная форма функции значительно проще первоначальной. Интересно отметить, что она не содержит переменной x₁.

Для получения наиболее простой формы зачастую необходимо при минимизации рассматривать всевозможные варианты склеивания. При числе аргументов, большем четырех, применение карт Карно становится трудоемким, и обычно используют другие методы минимизации.

 

x2

Рис. 2.5. Карта Карно для функции, заданной табл.2.5

Электронных устройствах

Элемент ИЛИ.

 

Устройства ЧПУ, как любые цифровые устройства, включая ЭВМ, состоят из основных логических элементов и элементов памяти. К основным логическим элементам относятся физические элементы, реализующие логические функции «ИЛИ», «И», «НЕ», т. е. осуществляющие логические суммирование, умножение и отрицание. Элементы памяти также могут состоять из этих же логических элементов, соединенных в триггеры.

Узлы цифровых устройств реализуются в виде серийно выпускаемых стандартных логических элементов, образующих их элементную базу, которая состоит из серии функционально различных логических элементов. Эти элементы конструктивно оформлены в одинаковых корпусах, содержащих несколько логических элементов, которые устанавливают на блоках, панелях или платах (в зависимости от конструкции этих элементов) и соединяют между собой внешним монтажом. Основным свойством логических элементов определенной серии является возможность их последовательного включения, в связи с чем предусмотрен одинаковый уровень их входных и выходных сигналов. Из основных логических элементов можно построить любую сколь угодно сложную схему, реализующую любую логическую функцию. Например, можно построить логические схемы со многими входами и выходами, служащие для преобразования кодов из одной формы в другую.

Логические элементы (узлы) предназначены для, выполнения различных логических (функциональных) операций над дискретными сигналами при двоичном способе их представления.