Решение системы линейных уравнений

В общем случае решение линейной системы АХ=В, где А – матрица коэффициентов, В – вектор-столбец свободных членов, Х – вектор-столбец неизвестных, имеет вид , где – матрица, обратная к матрице А. Это вытекает из того, что при решении матричных уравнений при Х должна остаться единичная матрица Е. Умножая слева обе части уравнения АХ=В на , получаем решение линейной системы уравнений.

Упражнение 5. Найти решение системы линейных уравнений , значения соответствующих матрицы и вектора-столбца имеют вид:

Результат выполнения упражнения представлен на рис. 5.

Для решения системы линейных уравнений:

1. Значения матрицы А поместите в ячейки А4:В5.

2. Значения столбца свободных членов поместите в ячейки D4:D5.

3. Выделите диапазон A8:B9, в ячейку A8 введите формулу:

=МУМНОЖ(A4:B5;A4:B5)

Установите указатель мыши в строку формул и нажмите одновременно клавиши < Ctrl >+< Shift >+< Enter >.

4. Выделите диапазон D8:E9, в ячейку D8 введите формулу:

=МОБР(A8:B9)

Установите указатель мыши в строку формул и нажмите одновременно < Ctrl >+< Shift >+< Enter >.

5. Для получения результатов решения системы линейных уравнений следует перемножить полученную матрицу и столбец свободных членов В. Для этого выделите диапазон A12:A13, в котором столько же строк, сколько в первой матрице и столбцов, сколько во второй матрице В. В ячейку А12 введите формулу: =МУМНОЖ(D8:E9;D4:D5)

Установите указатель мыши в строку формул и нажмите < Ctrl >+< Shift >+< Enter >.

Рис. 5 Решение системы линейных уравнений

Нахождение корней уравнения

В общем виде уравнение -ой степени выглядит следующим образом:

,

где – некоторое положительное число, - произвольные комплексные числа, причём старший коэффициент должен быть не равен нулю.

Выражение называется многочленом (полиномом) – ой степени от неизвестного . Если при некотором выполняется равенство , то называется корнем многочлена .

Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью и только они.

Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю не учитываются) или меньше этого числа на чётное число.

Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на чётное число (теоремы Декарта и Бюдана - Фурье).

Для отыскания корней уравнений произвольной степени в MS Excel необходимо:

1. Произвести табулирование заданной функции на некотором интервале с целью выявления (локализации) корней уравнения (перемена знака в значении функции).

2. После локализации корней установить предельное число итераций и погрешность для вычисления корней (выполнить команду Сервис | Параметры и установить необходимые опции на вкладке Вычисления).

3. Выполнить вычисление корней уравнения с использованием средства Подбор параметра (выполнить команду Сервис | Подбор параметра).

4. Построить график исследуемой функции.

 

Упражнение 6. Найти все корни уравнения:

1. Выполните приближённое табулирование функции:

на отрезке [-10;10]:

· в ячейки А9:А29 введите аргумент функции – значения отрезка [-10;10] с шагом 1;

· в ячейку В9 внесите формулу:

=A$5*A9^5+B$5*A9^4+C$5*A9^3+D$5*A9^2+E$5*A9+F$5

и скопируйте её значение на весь диапазон табулирования В9:В29 (рис. 6);

· вычислите значения функции на этом диапазоне. Определите по результатам вычислений, что значение функции меняет знак на отрезке [-3;1].

2. Для более точного табулирования функции на заданном отрезке:

· в ячейки D9:D49 введите аргумент функции - значение отрезка [-3;1] с шагом 0,1.

· в ячейку E9 введите формулу, аналогичную формуле для ячейки B9, и скопируйте её на весь диапазон значений аргумента функции:

=A$5*D9^5+B$5*D9^4+C$5*D9^3+D$5*D9^2+E$5*D9+F$5

· вычислите значение функции на этом диапазоне и постройте график для табулированной функции.

Результаты точного табулирования функции дают 3 изменения знака на отрезке [-3;1], что свидетельствует о наличии корней уравнения .

3. С помощью средства Подбор параметра определите корни уравнения:

· Для вычисления 1 корня поместите указатель в ячейку D18 (либо D19) и выполните команду Данные | Анализ «что-если» | Подбор параметра (рис. 7). Получим 1 корень уравнения:

;

· аналогично вычислите оставшиеся 2 корня:

;

4. Выделите диапазон области значения функции (Е18:Е50) и воспользуйтесь мастером построения диаграмм. Для построения графика используйте типы диаграмм График и Точечная.

Рис. 6 Вычисление корней многочлена

 

Рис. 7 Нахождение корня уравнения с использованием средства Подбор параметра