Математична цифрова подібність і моделювання

 

Цифрові ЕОМ, що моделюють різні процеси, застосовуються в двох основних напрямах. Перше ─ це моделювання в реальному часі процесів, що відбуваються, коли дані для обчислень надходять на ЕОМ безпосередньо від системи, що вивчається, або тієї, якою необхідно управляти. У другому напрямі (наприклад, при розв’язанні задач проектування, планування і прогнозування) немає потреби в моделюванні у темпі реального процесу, можна ці процеси при моделюванні прискорити. Аналогічні завдання виникають і при великих кількостях рівнянь, що відповідають, наприклад, моделі розвитку великої системи. Тут також потрібна швидкодія ЕОМ для того, щоб в межах прийнятних термінів вирішувати поставлені завдання.

ЕОМ не є моделюючим пристроєм якого-небудь конкретного процесу в тому сенсі, який зазвичай на основі наших звичних уявлень вкладається в поняття моделі. Отримуючи дані для аналізу, ЕОМ обчислює яку-небудь функцію, переробляє, зберігає і видає інформацію, створюючи формальну модель ─ алгоритм обчислюваної функції.

Алгоритми, що переробляють інформацію, повинні мати спільність характеру, тобто відображати хід розв’язку не якої-небудь окремої задачі, а цілого класу узагальнених подібних задач, спільність яких виявлена методами теорії подібності і запис алгоритмів проведений в критеріях подібності; володіти чіткістю і однозначністю вказівок по проведенню операцій на кожному етапі їх виконання, безпосередньо і швидко приводити до розв’язку, що видається в зручній для використання формі, тобто повинні мати результативністю при будь-якій початковій інформації і точному дотриманні команд, що визначають обчислювальний процес, видавати остаточний результат у вигляді узагальнених залежностей (співвідношень, графіків), що дозволяють поширити результати на групи явищ, подібних до даних.

При дотриманні вказаних умов ЕОМ разом з відповідним алгоритмом може розглядатися як модель процесу, що вивчається, що забезпечує вирішення наукових і технічних завдань.

Сучасну техніку все більше й більше починають цікавити розв’язки, що використовують не тільки математичні моделі, алгоритм яких передбачає жорсткий програмний хід, як це робиться в більшості випадків при застосуванні ЕОМ, але і моделі, які дозволили б підходити до завдання як до ергатичної, такої, що передбачає втручання оператора в процес дослідження або управління, що означає перехіду до вищого класу завдань. При реалізації ергатичного моделювання потрібні зміни в підходах до програмування і в поєднаннях комплексів цифрової і обчислювальної техніки. Таким чином з'являються нові моделі ─ гібридні, такі, що поєднують цифрові ЕОМ і АОМ.

Вимоги до точності і достовірність результатів моделювання різні залежно від поставлених завдань і характеру досліджень. Дослідження, що стосуються проектних розробок, а також оцінки і відносного співставлення варіантів, не вимагають високої точності результатів. Проте точність результатів має вельми велике значення, якщо дослідження проводяться стосовно конкретної схеми, а отримані результати необхідно розповсюдити на ряд оригіналів.

При отриманні на основі моделювання характеристик тих або інших явищ необхідно враховувати фактори, що обумовлюють розбіжність результатів, які отримуються в моделях і в оригіналах. До цих чинників відносяться неточності, обумовлені визначенням або заданням параметрів оригіналу, що входять в критерії подібності, і відтворенням параметрів на моделі (ці неточності можна звести до деяких сумарних неточностей відтворення критеріїв подібності); похибками вимірювань при проведенні дослідів (ці похибки можуть бути зменшені багатократним повторенням вимірювань, вибором приладів належної точності); неповним обліком в моделі факторів, що явно впливають на головні процеси (здійснення наближеного моделювання замість точного).

Непостійність параметрів, що випадково змінюються, і які входять у критерії подібності, приводить до того, що критерії подібності також виявляються схильними до випадкових варіацій. Тому при оцінці достовірності результатів моделювання систем, що мають такі параметри, необхідно також враховувати вплив випадкових факторів.

Точність результатів експериментальних досліджень реальної системи, дослідів на фізичній моделі, процедури моделювання на АОМ і чисельного розв’язання систем рівнянь, що описують досліджуваний процес, повинна оцінюватися по різному. У першому випадку «натура» ─ розглядається конкретне явище; у другому «фізична модель» ─ фізично відтворюються певні сторони явища на основі теорії подібності стохастично визначених систем; у третьому «АОМ» ─ відтворюються математичні закономірності, виражені в рівняннях процессу, що описується; у четвертому «ЕОМ» ─ здійснюється числова інтерпретація цих закономірностей.

Зазвичай в практичних застосуваннях оцінка достовірності результатів моделювання з урахуванням похибок задання і відтворення критеріїв подібності зводиться до двох задач: до оцінки впливу стохастичних варіацій критеріїв подібності і до оцінки похибки реалізації наближеного моделювання замість точного.

Оцінка похибок моделювання, пов'язаних з неточністю відтворення критеріїв подібності, вимагає вивчення характеру зв'язку між процессом, що досліджується, і кількісними відхиленнями критеріїв подібності, що зображається у вигляді рівняння регресії

де ─ кодоване значення критеріїв. Отримане рівняння показує степінь впливу кожного критерію подібності на величину і дозволяє встановити зони помітної похибки, яку треба виключити з розгляду.

Отримана інформація дозволяє об'єктивно вирішити питання про необхідну точність відтворення критеріїв подібності, яка відповідає степні їх впливу на процесс, що досліджується.

Похибки наближеного моделювання виявляються двома шляхами, що корегують один одного. По-перше, перевіркою послідовним моделюванням, коли, моделюючи одну і ту ж систему в різних масштабах, при різних коефіцієнтах лінеаризації і т. п., можна отримати уявлення про можливий спотворюючий ефект моделювання. По-друге, дослідженням рівнянь, що покладені в основу наближених критеріїв подібності, та проведенням серій дослідів і розрахунків з різним поєднанням величин, що входять в наближені критерії.