Теорема про множення ймовірностей незалежних подій

 

Означення 1. Події А і В називаються незалежними, якщо настання однієї з подій не впливає на ймовірність настання другої події.

З цього означення випливає, що незалежні події - це такі дві рівності:

 

Р(А/В) = Р(А), Р(В/А) = Р(В). (1)

Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорів­нює добутку ймовірностей цих подій.

Оскільки Р(А ∩В) = Р(А/В) • Р(В), то, враховуючи рівність (1), діс­таємо

 

Р(А ∩ В) = Р(А) • Р(В). (2)

 

Навпаки, неважко довести, що виконання рівності (2) означає неза­лежність подій А і В. Справді, оскільки

 

 

то відповідно до означення умовної ймовірності праву частину цього виразу можна замінити на Р(А/В), тобто Р(А) = Р(А/В). Аналогічно дістаємо Р(В) = Р(В /А). Отже, рівність (2) гарантує незалежність подій.

Означення 2. Кілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої сукупності решти.

Для незалежних у сукупності подій має місце рівність

Формула (3) є узагальненням формули (2) на випадок будь-якої скін­ченної кількості незалежних у сукупності подій.

На практиці для перевірки незалежності подій рідко використовують оз­начення. Частіше виходять з інтуїтивних міркувань, пов'язаних з характе­ром випробування. Так, при підкиданні двох монет очевидно, що поява якої-небудь сторони на одній з них не впливає на умови підкидання іншої. Тому випадання будь-яких сторін на кожній з них є незалежними подіями.

Приклад 1. Імовірність безвідмовної роботи верстата протягом зміни дорівнює 0,9. Знайти ймовірність безвідмовної роботи двох вер­статів протягом зміни.

Подія А - безвідмовна робота протягом зміни першого верстата, В -другого. Припускаючи, що події А і В є незалежними, за формулою (1) знайдемо

 

Приклад 2. Робітник обслуговує чотири однакових верстата. Ймовір­ність того, що будь-який верстат протягом години потребує уваги ро­бітника, дорівнює 0,6. Припускаючи, що виходи з ладу будь-якого вер­стата ніяк не пов'язані між собою, знайти ймовірність того, що протягом години: а) усі чотири верстати потребують уваги робітника; б) жоден з верстатів не потребує уваги робітника.

а) Позначимо через А₁, А₂, А₃, А₄ події, які полягають в тому, що про­тягом години потребують уваги робітника відповідно перший, другий, третій, четвертий верстати. Події А₁, А₂, A₃, А₄ є незалежними. Тому за формулою (3) дістанемо

 

б) Імовірність того, що протягом години верстат (будь-який) не потребуватиме уваги робітника, знайдемо за правилом відшукання ймовірності протилежної події:

 

 

Формула повної ймовірності

 

Припустимо, що подія A може настати тільки разом з однією із попарно несумісних подій H₁, H₂,... Н_п, які утворюють повну групу подій (рис. 307).

Теорема. Ймовірність події A, яка може настати лише за умови появи однієї із попарно несумісних подій Н₁, H₂,... Н_п, які утворюють повну групу, визначається за формулою

 

Р(А) = Р(А/Н₁)·Р(Н₁) + Р(А/Н₂) ·Р(Н₂) +...+ Р(А/Н_п) ·Р(Н_п). (1)

 

Якщо подія А відбулася разом з однією із подій H₁, H₂,... Н_п, то це озна­чає, що відбулася одна із попарно несумісних подій A∩ H₁, A∩ H₂,... A∩ Н_п. Отже,

 

 

Тому, застосовуючи теорему про додавання ймовірностей несумісних подій, дістаємо

 

 

За теоремою множення довільних подій маємо

 

 

Підставивши рівність (3) у рівність (2), дістаємо рівність (1). Формулу (1) називають формулою повної ймовірності.

 

Приклад 3. Із першого автомата на конвеєр надходить 20 % деталей, з другого - 30 %, з третього - 50 %. Перший автомат дає в середньому 0,2 % бракованих деталей, другий - 0,3 %, третій - 0,1 %. Яка ймовір­ність того, що на конвеєр надійшла бракована деталь?

Позначимо події: Н₁ - дана деталь виготовлена першим автоматом, H₂ - дана деталь виготовлена другим автоматом, H₃ - дана деталь виготовлена третім автоматом, А - деталь, що надійшла на конвеєр, бракована.

За умовоюP(Н₁) = 0,2; Р(H₂) = 0,3; Р(Н₃) = 0,5; Р(А/Н₁) = 0,002; Р(А/Н₂) = 0,003; Р(А/Н₃) = 0,001.

За формулою повної ймовірності

P(А) = 0,002-0,2 + 0,003-0,3 + + 0,0010,5 = 0,0018.