Множества и операции над ними. Множества действительных чисел, числовые промежутки. Окрестность и проколотая окрестность точки.

Основные элементарные функции и их графики

1) Показательная функция y=a^x, a>0, a≠1.

2) Степенная функция y=x^α, R

3) Логарифмическая функция , a>0, a≠1

4) Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx

5) Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основнх элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

 

Числовые последовательности. Определение монотонной и ограниченной последовательности. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах.

· Под числовой последовательностью Х₁,X₂…… понимается функция Х_n=f(n) заданная на множестве N натуральных чисел.

· Обозначение: х_n, n ϵ N. Число х₁ называется первым членом последовательности, х₂ вторым…. Х_п – общим членом последовательности.

· Последовательность называется ограниченной если существует такое число М>0, что для любого n ϵ N выполняется неравенство X_n ≤ M

· Последовательность называется возрастающей если для любого n выполняется неравенство a_n+1>a_n. Для убывающей последовательности наоборот.

· Все эти последовательности называются монотонной последовательностями.

· Число а называется пределом числовой последовательности {х_n} если для любого положительного числа ɛ найдется такое натуральное число N что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-a|<ɛ

· Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся, а не имеющая пределов - расходящейся.

Основные теоремы о пределах

· Если и начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство x_n ≤ y_n,a ≤ b

· Если и справедливо неравенство х_п ≤z_n≤y_n, начиная с некоторого n. Тогда .

· Теорема Вейерштрасса. монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Признаки существования пределов. Первый и второй замечательные пределы.

Теорема 1. О пределе промежуточной функции. Если функция f(x) заключена между двумя функциями φ(x) и g(х), стремящимися в одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

Теорема 2. О пределе монотонной функции. Если функция f(x) монотонна и ограничена при х>х₀ или при х<х₀, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Следствие: Ограниченная монотонная последовательность x_n, , имеет предел.

Первый замечательный предел:

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю:

Второй замечательный предел:

Замечания:

Сравнение бесконечно малых функций и теоремы о них. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Сравнение бмф.

Пусть бмф, при х→х₀, т.е. ,

Данные бмф можно сравнить с помощью отношений:

1) M≠0, тогда α,β-бмф одного порядка

2) 0, тогда α-бмф более высокого порядка, чем β

3) ∞, тогда α – бмф более низкого порядка, чем β

4) , тогда α и β – не сравнимые бмф при х→х₀

Замечания: х→+∞, х→х₀-0, х→х₀+0

Теоремы о бмф.

Теорема1. Предел отношения двух бмф не изменится если каждую из нх заменить эквивалентной. Пример:

Теорема 2. Разность двух эквивалентных бмф, есть бмф более высокого порядка, чем каждая из них. Пример: . Справедливо и обратное.

Теорема 3. Сумма конечного числа бмф разного порядка эквивалентна слагаемому низшего порядка, чем остальные, при х→х₀

Эквивалентные функции.

Опр.1. Пусть бмф, при х→х₀. Если , то α и β называются эквивалентными бмф, при х→х₀. Обозн. , при х→х₀

Таблица эквивалентных бмф при х→0

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) , в частности

 

Производная сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций.

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) имеет производную в (.)х₀, т.е. f′(x₀), z=g(y) имеет производную в (.) y₀, где y₀=f(x₀) ( g′(y₀)), тогда сложная функция z=g(f(x)) имеет производную в точке x₀, которая определяется по формуле: z′(x₀)=g′(y₀)∙f′(₀)

Замечание: теорема дифференцирования сложной функции распространяется на конечное число вложений функции.

Z(t)=z(φ(y(t))), при этом существует z′_φ, φ′_y, y′_t, то z′(t)= z′_φ∙φ′_y∙ y′_t

Теорема 2. Пусть y=f(x) строго монотонна на (a,b). f′(x)≠0, обратная функция x=φ(y) имеет производную φ′(y), при этом справедлива формула φ′(y)=

Иначе: Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Таблица производных:

1) C′=0 2) (U^α)′ = α∙U^α-1 3) (a^u)′= a^u∙ lna ∙ U′(x); следствие: (e^u)′=e^u-U′(x) 4) ; следствие: 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) ; 14) 15) ; 16) ;

 

14. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование, пример.

Пусть y=f(x) на [a,b], то говорят, что функция задана явно. Однако функция может быть задана неявно и параметрически.

Опр.1. Функция задана неявно на интервале (a,b), если она определяется уравнением f(x,y)=0 (1), не разрешенным относительно y.

Замечания: функцию, заданную явно: y=f(x) можно записать неявно: y=-f(x)=0

Правило1. Нахождение y′(x) для функции, заданной неявно уравнение (1):

1) Дифференцируем уравнение(1) по переменной х, рассматривая при этом y как функцию y(x).

2) Из полученного уравнения выражаем y′(x)

Опр.2. y=f(x) задана параметрически, если независимая переменная х и зависимая переменная y

связаны между собой параметрической системой уравнений: x=x(t); y=y(t); (2)

1) Пусть x′_t, y _t для всех

2) X(t) имеет обратную функцию t(x)

Правило 2. Дифференцирование параметрически заданной функции с помощью (2)

1) Вычислить производные x′(t), y′(t)

2) По правилу дифференцирования сложной функции y=y(t)=y(t(x)) имеем y′(x)=y′(t)∙t′(x)

3) По правилу дифференцирования обратной функции из полученного равенства имеем: (3)

Иногда при нахождении производных от сложных функций применяют логарифмическое дифференцирование.

Правило 3.

1) Исходную функцию логарифмируют

2) Полученную логарифмическую функцию дифференцируют и выражают y′(x)

Правило 3 применяют для степенно-показательных функций.

Утверждение: y=U(x)^V(x)

Справедлива формула дифференцирования:

 

Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица основных интегралов.

Опр.1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого x (a;b) выполняется равенство F′(x)=f(x) (1)

Опр.2. Совокупность всех первообразных φ(x) x (a,b) удовлетв. условию (1), т.е. φ′(x)=f(x), называется неопределенным интегралом.

Таким образом, по определению

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, ∫- знаком неопределенного интеграла.

Теорема о существовании неопределенного интеграла: если функция y=f(x) непрерывна на (a;b), то для f(x) существует первообразная, а тогда существует и неопределенный интеграл.

Пусть F(x) – первообразная функции f(x), где ; тогда (2)

Док-во: рассм. правую часть (2) (F(x)+C)′= F′(x)+C′=f(x)⇒ F(x)+C – первообразная функции f(x)

Пусть φ(x) – другая первообразная функции f(x), причем T(x)≠F(x), тогда t′(x)=f(x) для имеем (T(x)-F(x))′=T′(x)-F′(x)=f(x)-f(x)=0, это значит, что T(x)=F(x)+C, чтд.

Сво-ва неопредел. Интеграла.

1) Дифференциал от интеграла d(S(f(x)dx)=d(F(x)+C=dF(x)+dC

Док-во: (S(f(x)dx)=d(F(x)+C=dF(x)+dC=dF(x)=F′(x)dx

Следствия (f(x)dx)′=f(x)dx

2)

3) - линейность

4) Инвариантность форм интегрирования

Пусть F(x) – первообразная f(x) ; U=T(x) - функция, φ′(x) , тогда

, где F(u) – первообразная функции f(u)

Таблица интегралов:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15)

21. Непосредственное интегрирование, подведение заданного выражения под знак дифференциала, примеры. Замена переменной в интеграле, подстановка. Интегрирование по частям, типы интегралов, для которых применяется интегрирование по частям.

П.1 метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведение данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала («подведение под знак дифференциала»):

 

 

Замена переменной в интеграле

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении переменной интегрирования. При этом интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку x=φ(t), где φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ′(t)dt на основании св-ва инвариантности формулы интегрирования неопр. интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и V=V(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u∙dv + v∙du. Интегрируя это равенство,

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла , который является более простым или табличным.

Типы интегралов, для которых удобен метод интегрирования по частям.

1) Интегралы вида , , – многочлен, k – число. Удобно u=P(x), dv – все остальное

2) Интегралы вида , , , , . Удобно: P(x)dx=du, а за u обозначить остальные сомножители.

3) Интегралы вида , , где a и b – числа. За u можно принять функцию u=e^ax.

22. Дробно – рациональная функция (рациональная дробь). Четыре типа простейших дробей. Теорема о разложении рациональной дроби. Метод неопределенных коэффициентов, пример.

Опр.1. Дробно – рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение многочленов: (1), если n m, то дробно – рациональная функция неправильная, если n<m, nj (1) – правильная

Утв. Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Например:

4 типа простейших рациональных дробей

1) ; A,a – const

2) ; m≥2, m Z

3) ; A,B,p,q – const, D=p²-4q<0

4) ; m≥2; D<0

Теорема 1. Разложение правильно1 рациональной дроби на сумму простейших дробей:

Пусть прав. рацион. дробь , n<m, Qn(x)=(x-x₁)(x-x₁)²…(x-x₁)^k1(x-x₂)…(x-x₂)^k2…(x²+px+q)…(x²+p₀x+q_u)^qu , где действ. корни: х₁, х₂… имеют кратность соответственно k_1,k_2. тогда рацион. дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

(2)

- неопределенные коэффициенты

Для нахождения неопределенных коэффициентов используется метод уравнения левой и правой части.

Идея метода сравнения:

1) В правой части равенства (2) приводим к общему знаменателю , где S(x) – многочлен в неопр. коэф.

2) Т.е. в полученном равенстве равны знаменатели, а числители равны: Pn(x)=S(x)

3) Сравниваем коэф. при одинаковых степенях x, получим систему алгебраических линейных уравнений, относительно коэф. A,A₁…B,B₁.

Замечания: при нахождении неорп. коэф. в третьем пункте используют иногда смешанный прием, т.е. пусть x=x₁; x=x₂, из которых определяют неопр. коэф., если остаются неопр.коэф. применяют метод сравнения.

Множества и операции над ними. Множества действительных чисел, числовые промежутки. Окрестность и проколотая окрестность точки.

Множества и операции над ними

· Множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому либо признаку.

· Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Мн-ва обозначаются заглавными буквами: A,B,C,D…, а элементы: a,b,c,d…

· Если элемент принадлежит множеству, то записывают х∈ Х.

· Если элемент не принадлежит, то записывают х∉ Х.

· Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают ∅

· Элементы множества записываются в фигурных скобках: А={1,2,3,4}, если же множество записано как А={х: 0 ≤ х ≤ 2}, то означает, что множество А состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих 0 ≤ х ≤ 2

Действия над множествами

· Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В: А ⊂ В.

· Если А ⊂ В и В ⊂ А, значит множества равны или совпадают: А=В. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

· Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств: А ∪ В.

· Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит и А, и В: А∩ В.

Множества действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

N = {1;2;3;…;n;…} – множество натуральных чисел

Z₀ = {0;1;2;…;n;…} – множество целых неотрицательых числе

Z = {0;±1;±2;…;±n;…} – множество целых числе

Q = { ; m ∈ Z, n ∈ Z} – множество рациональных чисел

R – множество действительных чисел.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической: =0,5(=0,500…), - рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами:

А) оно упорядоченное: для двух любых различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: a < b либо b < a

Б) множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т.е. чисел удовлетворяющих неравенству a<x<b

В) множество R непрерывное. Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных числе и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х∈ R соответствует определенная единственная точка на числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное действительное число.

Числовые промежутки, окрестность и проколотая окрестность точки

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a;b] = {x: a≤x≤b} - отрезок (сегмент, замкнутый промежуток)

(a;b) = {x: a<x<b} - интервал (открытый промежуток)

[a;b) = {x: a≤x<b} - полуоткрытые интервалы (полуоткрытые отрезки)

(a;b] = {x: a<x≤b}

(-∞;b] = {x: x≤b}; (-∞;b] = {x: x<b}

[a;+∞) = {x: x>a}; [a;+∞) = {x: x≥a}

(-∞;∞) = {x: -∞<x<+∞} - бесконечные интервалы (промежутки)

Окрестностью точки х₀ называется любой интервал (a,b), содержащий точку х₀. В частности, интервал (х₀-ɛ, х₀+ɛ), где ɛ>0, называется ɛ-окрестностью точки х₀. Число х₀ называется центром, а ɛ– радиусом.

2. Функция, ее способы задания. Классификация функций – ее основные характеристики.

Соответствия f, которое каждому элементу х∈Х сопоставляет один и только один элемент y∈Y, называется функцией и записывается y=f(x),х∈Х. Говорят, что функция f отображает множество Х на множество Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа(R), то функцию называют числовой функцией.

Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых х является значением аргумента, а у - соответствующим значением функции.

Способы задания функций.

а) Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Этот способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y=f(x).

б) Графический способ: функция задается графиком. Преимуществом графического способа является наглядность, недостатком – неточность.

в) Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функций

1) Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется четной, если каждый х ∈ D выполняются условия –х ∈ D и f(-x)=f(x); нечетной, если каждый х ∈ D выполняются условия –х ∈ D и f(-x)=-f(x).

2) Если для любых значений х1,х2 ∈ D1 аргументов из неравенства х1<х2 вытекает неравенство: f(x₁)<f(x₂), то функция называется возрастающей; f(x₁)≤f(x₂) – неубывающей; f(x₁)>f(x₂) – убывающей; f(x₁)≥f(x₂) – невозрастающей на множестве D₁.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D₁ называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

3) Функцию y=f(x), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех х∈D выполняется неравенство |f(x)|≤М. отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми y=-М и y=М.

4) Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется переодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при каждом х D значение (х+Т) D и f(x+T)=f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т – период функции, то ее периодами будут также числа , где m=±1,±2,… так для y=sinx периодами будут числа ±2 ,±4,±6π,… обычно за период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x+T)=f(x).