Точность систем автоматического управления

Рассматривается типовая структура САУ (рис. 2.49):

Рис. 2.49. Типовая структура САУ

x (t) – полезный, задающий сигнал; n (t) – помеха, возмущение.

y (t) = G_y/x (p) x (t) + G_y/n (p) n (t) – суперпозиция.

Ошибка отработки полезного сигнала, которая характеризует точность САУ:

e (t) = x (t) – y (t) = [1 – G_y/x (p)] x (t) – G_y/n (p) n (t) = G_e/x (p) x (t) + G_e/n (p) n (t),

где e ₁(t) = G_e/x (p) x (t) – ошибка по полезному сигналу, e ₂(t)= G_e/n (p) n (t) – ошибка по помехам.

Значение ошибки e (t) определяется не только свойствами собственно системы, но и значениями внешних сигналов x (t) и n (t). Следовательно, нельзя по значениям e (t) сказать: «хорошая» система или «плохая». Хорошо было бы обеспечить, чтобы G_y/x (p) = 1 и G_y/n (p)= 0, но одновременно выполнить оба условия, как правило, не удается. Поэтому для характеристики точности системы вводят другие показатели. Различают два случая:

– отработка полиномиальных воздействий;

– отработка периодических воздействий.

2.5.1 Точность при полиномиальных (степенных) воздействиях

Рассматривается случай, когда внешние сигналы (задающие и возмущающие) можно представить в виде конечных рядов:

В частности, при постоянном задающем сигнале

x (t) = x ₀ (a ₀ = x ₀; a_i = 0 при i > 0),

при линейном –

x (t) = x ₀ + a t (a ₀ = x ₀; a ₁ = a, a_i = 0 при i > 1)

и т. д.

Принято в этом случае точность системы характеризовать коэффициентами ошибок:

Отдельные коэффициенты имеют названия:

c ₀ – коэффициент ошибки по положению для задающего сигнала;

c ₁ – коэффициент ошибки по скорости для задающего сигнала;

c ₂ – коэффициент ошибки по ускорению для задающего сигнала;

d ₀ – коэффициент ошибки по положению для возмущения;

d ₁ – коэффициент ошибки по скорости для возмущения.

Значения коэффициентов ошибок могут быть легко вычислены.

e (t) = [1 – G_y/x (p)] x (t) = G_e/x (p) x (t).

с ₀ = G_e/x (0), с ₁= ,... или с ₀ = 1 – G_y/x (0), с ₁= ,...

Аналогично для коэффициентов ошибок по помехе

Астатизм

С коэффициентами ошибок связано понятие астатизма. Астатическими называются системы, точно (с нулевой ошибкой) отрабатывающие любые постоянные воздействия. Система называется астатической m -го порядка, если при полиномиальных воздействиях x (t) = a ₀ + a ₁ t +...+ a_{m -1} t^{m -1}, n (t) = b ₀+...+ b_{m -1} t^{m -1} вынужденный процесс изменения ошибки отсутствует (т. е. установившаяся ошибка e _уст(t) равна нулю).

Для астатической системы 1-го порядка с ₀ = 0, с ₁ ¹ 0, для астатической системы 2-го порядка с ₀ = 0, с ₁= 0, с ₂ ¹ 0, для астатической системы m -го порядка с ₀ = 0,..., с_{m -1} = 0, с_m ¹ 0.

Отметим некоторые свойства астатических систем

· Для системы с астатизмом (1-го порядка) установившаяся ошибка не зависит от самого сигнала (так как с ₀ = 0). Если x (t) = x ₀, то e (t) = 0, так как x ^{( i )}(t) = 0.

· Если подан линейный сигнал x (t) = a ₀ + a ₁ t, то для астатической системы e _уст(t) = a ₁ с ₁, т. е. ошибка постоянна и определяется скоростью изменения входного сигнала. Если подан квадратичный сигнал x (t) = a ₀ + a ₁ t + a ₂ t ², то e _уст(t) = (a ₁ + a ₂ t) с ₁ + a ₂ с ₂, т. е. e _уст(t)» a ₂ с ₁ t ® ¥ и при t ®¥, система с астатизмом 1-го порядка не «успевает» следовать за сигналом; ошибка нарастает со временем.

· Свойства астатизма определяются наличием интеграторов. Количество интеграторов определяет порядок астатизма.

Пример. Астатизм 1-го порядка.

G_y/x (p) = a /(a+p); G_e/x (p) = p /(a+p); c ₀ = G_e/x (0) = 0; c ₁= G ⁽¹⁾ _e/x (0) = [ p /(a+p)]₀ =1/ a.

Итак,для системы с астатизмом 1-го порядка коэффициент ошибки по положению равен нулю, а коэффициент ошибки по скорости – величина обратная общему коэффициенту усиления разомкнутой системы:

c ₀ = 0; c ₁ = 1/ a.

e (t) = G_e/x (p) x (t) = p/ (a+p) x (t) Þ (a+p) e(t) = px (t) Þ

ae ⁽¹⁾(t) + e (t) = x ⁽¹⁾(t) Þ

ошибка не зависит от самого сигнала, а только от скорости его изменения.

При постоянном входном сигнале x (t) = x ₀ Þ e _уст(t) = 0.

При линейном входном сигнале x (t) = a ₀ + a ₁ t Þ e _уст(t) = a ₁/ a = Const.

Ничего качественно не изменится, если G (p) имеет более сложный вид, например

Легко проверить, что и в этом случае получим c ₀ = 0; c ₁ = 1/ a.

Пример.

c ₀ = 0; c ₁ = 0; c ₂ ¹ 0; x (t) =1[ t ] Þ e (t) = 0;

x (t) = a₀ +a₁ t Þ e (t) = 0;

x (t) = a₀ +a₁ t +a₂ t ² Þ e (t) = 2 c ₂a2 ¹ 0 – появляется ошибка отслеживания.

Увеличение числа интеграторов приводит к росту точности.

Относительно астатизма по помехам справедливы те же выводы (рассматривать нужно соответствующие передаточные функции).

Пример. Найти коэффициенты ошибок по положению и скорости для полезного сигнала x (t) и возмущения n (t) для следующей системы (k = 8).

Рис. 2.50. Структурная схема

Для коэффициентов ошибок по полезному сигналу имеем:
c ₀ = 0, c ₁ = 1/(0,4×8)» 0,3. Для вычисления коэффициентов ошибок по возмущению определим передаточную функцию G_e/n (p):

.

d ₀ = 20/32 = 5/8;