Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Принципы теории вероятностей.
Принцип сложения. Напомним, что два события называются несовместными, если они одновременно произойти не могут, то есть, если АВ=Ø и совместными в противном случае. Следующие четыре утверждения и образуют принцип сложения. Теорема 1. Для любого события имеет место следующее равенство: . . Действительно, так как , то . Теорема 2. Если , то Р(А-В)=Р(А)–Р(В). Имеем очевидное равенство А=В+(А-В), где В и А-В являются несовместными событиями. Используя аксиому 3 вероятности, имеем Р(А-В)=Р(А)–Р(В). Теорема 3. (теорема сложения вероятностей). Пусть мы имеем два совместных события А и В. Тогда Преобразуем их сумму в сумму несовместных событий Подставляя второе выражение в первое, получим . Пример. По мишени один раз стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в мишень р1 = 0,7, второго – р2 = 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень? А = А 1 + А 2, А попадание в мишень; А1 – попал первый стрелок; А2 – попал второй стрелок. Р(А) =Р(А1 + А2)=Р(А1)+ Р(А2) –Р(А1А2)= Р(А1)+Р(А2) – Р(А1 )Р(А2)= 0.7+ 0,8 – 0,7· 0,8 = 0,94. Получим вероятность суммы трех совместных событий. Получена формула Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС) Обобщая полученный результат на сумму n совместных событий, получим формулу Теорема 4. Для произвольных случайных событий А1, А2, …, Аn F имеет место равенство . . Учитывая, что события и являются взаимно противоположными, из теоремы 1 сразу получаем искомое равенство.
Принцип умножения. Определение 1. Вероятность события А при условии, что событие В наступило, называется условной и обозначается Р(А/В). Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называется безусловной. Это – обычная, определенная выше вероятность. Пример. Пусть в аудитории присутствует N студентов. Среди них NA – число студентов, регулярно прогуливающих математику, NB – прогуливающих всё остальное, NАВ – прогуливающих и математику, и всё остальное. Выбираем одного студента. Введем следующие события: Пустьсобытие А – случайно выбранный студент, прогуливающий математику, событие В – прогуливающий всё остальное, событие АВ – прогуливающий и математику, и всё остальное. На диаграммах Венна это выглядит так.
Тогда вероятности этих событий равны: Это безусловные вероятности. Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятность того, что случайно выбранный прогульщик всего остального, прогуливает еще и математику. В этом случае количество всех возможных исходов NB (выбираем только прогульщиков всего), а количество благоприятных исходов – NАВ . Получим = = В общем случае имеет место Определение 2. Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется с помощью следующего равенства: , Р(В)>0. Аналогично определяется условная вероятность события В при условии, что событие А произошло: , Р(А)>0 Следующее утверждение называют принципом умножения . Теорема 1. Для любых случайных событий А,ВÎF имеет место следующее равенство: Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). В случае независимых случайных событий Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В); поэтому теорему умножения для независимых случайных событий можно переписать в виде Р(АВ)=Р(А)Р(В). Это равенство используют в качестве определения независимых случайных событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. . Событие А будем называть независимым от события В, если P(A/B) = P(A), т.е. если условная вероятность равна безусловной. Определение 3. Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми. Определение 4. События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей . Пример. Два стрелка, независимо друг от друга стреляют по одной мишени, произведя залп. Вероятности попадания в мишень для первого стрелка 0,9; для второго – 0,8. Найти вероятность того, что и мишени будет а) одна дырка; б) две дырки; в) хоть одна дырка; Пусть А – попадание в мишень первого стрелка; В – попадание в мишень второго стрелка. Тогда – поражение мишени (хотя бы одним стрелком), - поражение мишени первым стрелком, - поражение мишени вторым стрелком. а) б) в) Имеем , то есть .Или Определение 2. Назовем событие А, событие В и событие С независимыми в совокупности, если выполняются условия:
р(АВ)=р(А)р(В), р(АС)=р(А)р(С), р(ВС)=р(В)р(С), Р(АВС)=р(А)р(В)р(С). Аналогично определяется понятие независимости в совокупности и большего числа событий. Из определения независимости событий в совокупности следует, что формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид . Очевидно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость случайных событий, однако можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности. Задача Бернштейна. Бросанем правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены соответственно в синий, красный, зеленый цвета, четвертая же грань окрашена всеми этими цветами одновременно. Если С, К, З – случайные события, заключающиеся в том, что тетраэдр падает на грани, окрашенные соответственно в синий, красный и зеленый цвета, то эти события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности. Действительно, Р(СК)=1/4=0,5∙0,5=Р(С)×Р(К); следовательно, события С и К независимы. Аналогично Р(СЗ)=Р(С)×Р(З) и Р(КЗ)=Р(К)×Р(З). Таким образом, случайные события С,К,З – попарно независимы. Но Р(СКЗ)=1/4≠1/8=P(С)P(К)P(З); следовательно, они не являются независимыми в совокупности.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 695; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.23.123 (0.007 с.) |