Оценка для дисперсии случайной величины

В качестве оценки для дисперсии рассмотрим следующую величину:

.

Оценку (5.2.8) принято называть выборочной дисперсией. Проверим ее на состоятельность и несмещенность. Преобразуем выражение (5.2.8) к другому виду:

.

Первый член в выражении представляет собой среднее арифметическое n наблюдаемых значений случайной величины X², значит он сходится по вероятности к MX². Второй член сходится по вероятности к . Следовательно, правая часть сходится по вероятности к величине , что означает, что оценка состоятельная.

Теперь проверим, является ли выборочная дисперсия несмещенной оценкой:

.

 

Так как дисперсия не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке ; затем найдем математическое ожидание величины . Имеем .

В силу независимости случайных величин , , и, следовательно,

.

Очевидно, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой. Однако, если умножить величину на , то мы получим для дисперсии оценку, обладающую свойством несмещенности, ибо

.

Эту оценку принято называть «исправленной» выборочной дисперсией и определять формулой

.

Величину называют «исправленным» средним квадратическим отклонением. Так как множитель стремится к 1 при , то оценка будет также, как и , состоятельной.

Если имеем интервальное выборочное распределение, нетрудно убедиться, что формулы для выборочной средней выборочной дисперсии и «исправленной» выборочной дисперсии можно переписать в виде

здесь – среднее значение случайной величины X на интервале , т.е. =(x_i-1 + x_i)/2.

 

Задача. Имеется статистический ряд для случайной величины X.

 

	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
nx

 

Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, «исправленную» выборочную дисперсию, «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Решение. Для удобства вычислений составим таблицу.

 

		W i
	0,12	0,12	-4,08	16,65	1,988
	0,16	0,48	-2,08	4,33	0,693
	0,40	2,00	-0,08	0,01	0,04
	0,20	1,40	1,92	3,69	0,738
	0,12	1,08	3,92	15,37	1,844
		=5,08

Значения и получены из таблицы Имеем .

Интервальные оценки. Доверительный интервал.
Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины

В ряде задач требуется не только найти с помощью статистических данных точечную оценку для параметра распределения, но и оценить ее точность и надежность, так как в силу случайности приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам. Для точности оценки в математической статистике используют доверительные интервалы.

Пусть для параметра распределения случайной величины Х получена несмещенная оценка . Задаем достаточно высокую вероятность (например, ) и находим такое значение e > 0, для которого

.

Равенство можно переписать в другом виде

.

Последнее равенство можно истолковать следующим образом: неизвестное значение параметра а с вероятностью попадает в интервал .

Но так как неизвестное значение параметра является неслучайной величиной, оценка этого параметра – случайной, то равенство можно истолковать более точно следующим образом: интервал с высокой вероятностью покрывает неизвестный параметр .

Интервал называется доверительным интервалом; центр его находится в точке , радиус его e. Вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью.

Итак, доверительный интервал – это интервал с центром в точке и радиусом e, который с высокой вероятностью (надежностью) покрывает неизвестный параметр . Найти доверительный интервал – это значит по статистическим данным найти центр интервала и радиус его e> 0.