Тригонометрическое нивелирование

Тригонометрическое нивелирование между двумя пунктами А и В включает

измерение расстояния и угла наклона между ними (рис. 16.1) с последующим вы-

числением превышения h по тригонометрическим формулам. Над пунктом А ставят

теодолит, на пункт В – рейку или веху. На рейке или вехе отмечают точку визиро-

вания W и измеряют высоту визирования υ = WВ. Над пунктом А измеряют высоту

прибора i = JА. Теодолитом измеряют угол наклона ν линии JW. Наклонное рас-

стояние JW = D определяют, например, светодальномером или оптическим дально-

мером.

 

Рис. 16.1. Тригонометрическое нивелирование

 

Из треугольника JWЕ вычисляют тригонометрическую часть превышения (не-

полное превышение) ЕW = h'. Вертикальный отрезок WВ' = h + υ = h' + i, отсюда

искомое полное превышение

 

 

h = h' + i – υ,

 

(16.1)

При расстояниях D ≥ 200 м в определяемом превышении h учитывают по-

правку f на кривизну Земли и рефракцию, следовательно

 

 

h = h' +i – υ + f

 

 

(при D ≥ 200 м).

 

(16.2)

 

 

Примечание: сущность поправки f рассмотрена далее на примере геометриче-

ского нивелирования.

 

Пять вариантов тригонометрического нивелирования

 

 

Рассмотрим пять возможных вариантов тригонометрического нивелирования

для расстояний D < 200 м, когда f ≈ 0.

1. Если непосредственно измерено наклонное расстояние D = АВ = JW свето-

дальномером или лентой (см. рис. 16.1),

тогда

треугольнике JWЕ неполное

превышение равно h' = D sin ν и формула (16.1) получает вид

 

 

h = D sin ν + i – υ.

 

(16.3)

в

 

2. Если известно горизонтальное проложение АВ' = JЕ = d, то

 

 

h' = d tg ν и

 

 

h = d tg ν + i – υ.

 

(16.4)

 

 

3. Если наклонное расстояние D измерено нитяным дальномером теодолита, то

горизонтальное проложение равно d = D cos2ν. Подставив эту зависимость в вы-

ражение (16.4), получим

 

 

h' = D cos2ν · tg ν = (1/2)D sin 2ν

 

 

и формулу тахеометрического нивелирования

 

 

h = (1/2)D sin 2ν + i – υ.

 

(16.5)

 

 

4. Если при измерении углов наклона ν визировать на рейку в точку W, отме-

ченную над ее пяткой на высоте прибора i, то в формулах (16.3), (6.14) и (16.5) сла-

гаемые i = υ (тогда i – υ = 0) и искомое полное превышение будет равно:

 

 

h = D sin ν;

 

 

h = d tg ν;

 

h = (1/2)D sin 2ν.

 

(16.6)

 

 

По формулам (16.3) – (16.6) превышение h' вычисляют при помощи инженерных

калькуляторов или компьютера. Для определения h' в формуле (16.5) служат также

тахеометрические таблицы.

При известной высоте (отметке) НА точки А высоту точки В вычисляют по фор-

муле (см. рис. 16. 1)

 

 

НВ = НА + h.

 

 

(16.7)

 

 

Точность тригонометрического нивелирования зависит от погрешностей: ∆D –

измерения расстояний; ∆ν – измерения углов наклона, ∆i – измерения высоты при-

бора; ∆υ – определения высоты наведения. В случае тахеометрической съемки при

 

помощи теодолитов Т30 погрешности измерений примем: ∆D = 0,3 м; ∆ν = 0,5';

∆i = ∆υ = 0,5 см, тогда при расстоянии D = 100 м и углах наклона ν < 5° погреш-

ность величины h' приблизительно равна m ∆h ≈ 1,5 см, а общая погрешность пре-

вышения m 2 h = m 2∆h + + m 2∆i + m 2∆υ, откуда mh = 1,7 см. При углах наклона ν > 5°

погрешность определяемых превышений возрастает.

5. Тригонометрическое нивелирование без определения высоты прибора (рис.

16.2) характеризуется повышенной точностью за счет устранения соответствующей

погрешности ∆i. На станции Ст. Т тахеометром измеряют расстояния D 1 = ТМ и

D 2 = ТN, углы наклона ν1 и ν 2, при этом известны высоты υ1 и υ2 визирных целей,

поставленных на пункты А и В. Превышение между точками А и В вычисляют

по формуле

 

 

h = υ1 + h 1 + h 2 – υ2 = υ1 + D 1 sin ν1 + D 2 sin ν2 – υ2.

 

Рис. 16.2. Тригонометрическое нивелирование без определения высоты прибора