Необходимым и достаточным условием устойчивости системы с характеристическим уравнением третьей степени

a₀> 0, a₁>0, a₂>0, a₃ >0,

а₁а₂ – а₀а₃>0

Преобразование Лапласа

 

Метод преобразования Лапласа позволяет эффективно находить решения линейных дифференциальных уравнений. Однако, пожалуй не менее важное применение преобразования Лапласа связано с использованием понятия передаточная функция для преобразования структурных схем систем автоматического управления. Последовательность действий при применении преобразования Лапласа следующая:

- Декомпозиция системы на ряд «стандартных» звеньев определенной структуры и установления связей между ними,

-Получение дифференциальных уравнений для составляющих систему звеньев.

-Преобразование по Лапласу этих уравнений и получение передаточных функций звеньев.

-Получение передаточной функции замкнутой системы с ОС. Получение характеристического уравнения замкнутой системы.

В дальнейшем при необходимости можно отыскать обратное преобразование Лапласа по передаточной функции системы, т.е. найти решения во временной области, а также

исследовать при необходимости корни характеристического уравнения, описывающего поведение замкнутой системы.

Преобразование Лапласа функции F(t).

.

Обратное преобразование Лапласа.

Здесь s – комплексное число.

Таким образом преобразование Лапласа преобразует функцию времени t в функцию комплексного числа s. Практически в нашем курсе нет необходимости рассматривать эти сложные выражения, тем более вычислять эти интегралы для различных функций времени.

Эти выражения используются профессиональными математиками, которые вычислили преобразование Лапласа для наиболее часто встречающихся и употребляемых функций времени и поместили их в таблицы, которыми пользуются инженеры и научные работники.

В данных таблицах в одной строке приведены функции времени, подвергающиеся преобразованию Лапласа, называемые оригиналами и соответствующие им функции комплексного числа s, получившиеся в результате этого преобразования, называемые изображениями по Лапласу. Таким образом, вход в эту таблицу возможен с двух сторон как со стороны оригиналов, так и со стороны изображений.

По этим таблицам можно всегда найти соответствие функции времени и её преобразования по Лапласу и обратно.

Таблицами надо пользоваться так, как вы пользуетесь таблицами логарифмов. Благодаря этим таблицам упрощается решение, в частности, дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы. Смысл использования преобразования Лапласа связан с тем, что дифференциальное уравнения временной области изображается алгебраическим выражением в области s.

F(t) – функция времени - Оригинал	F(s)- функция комплексного числа s - изображение по Лапласу
t
F(0) – начальное значение функции
При нулевых начальных значениях всех производных
t

 

 

Основные свойства преобразования Лапласа

1.При умножении оригинала на константу изображение также умножается на эту константу

L{a F(t)} = a L{F(t)}= a F(s)

 

2. Изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений

L{F₁ (t) + F₂ (t)} = L{ F₁ (t)} + L{ F₂(t)} = F₁(s) + F₂(s)

 

3. Запаздывания аргумента оригинала

L{F(t-a)} = e^-as F(s)

 

4. Затухание оригинала

e^-at F(t) = F(s + a)

5.Операция дифференцирования и интегрирования в области оригиналов преобразуется соответственно в умножение изображения на s или 1/s. Поэтому дифференциальные уравнения в области оригиналов преобразуются в алгебраические уравнения в области изображений.

 

Лекция 4. Использование метода преобразования Лапласа для исследования линейных систем управления. Передаточная функция. Частотные методы исследования систем управления СТС

Схема использования преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений.

 

Рассмотрим схему решения дифференциальных линейных уравнений с использованием преобразования Лапласа.

 

Исходная система дифференциальных уравнений. Приведение к табличному виду

 

	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

 

Система алгебраических уравнений

Алгебраические преобразования уравнений. Приведение результатов к табличному виду и поиск аналогов в таблице преобразований

 

 

Решение во временной области

 

Рассмотрим простейший пример.

Данное уравнение первого порядка описывает «инерционное звено». Возьмем преобразование Лапласа от функции х(t) при нулевых начальных условиях

 

 

По таблице преобразований обратное преобразование Лапласа от этой функции от s:

при T/t =3

 

Изображение по Лапласу дифференциального уравнения n-го порядка с нулевыми начальными условиями

(sⁿ + a₁ s^n-1` + a₂ s^n-2 +…+ a_n) X(s) = M_b

Мнемоническое правило при применении преобразования Лапласа: символ однократного дифференцирования в уравнении заменяется на s, а интегрирования на 1/s

Хевисайд вводил свое операторное исчисление основываясь на этих мнемонических правилах, которые он открыл, опираясь на свою огромную практику. И только много лет спустя было дано объяснение этому исчислению на базе преобразования Лапласа.

 

Передаточная функция. Получение передаточной функции системы по передаточным функциям входящих в неё звеньев

Передаточная функция системы однозначно описывает динамическую связь между переменными – входом и выходом. Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению по Лапласу входной переменной. Строго говоря, передаточная функция может быть определена только для линейных (линеаризованных) систем с постоянными коэффициентами.

Знаменатель передаточной функции – характеристическое уравнение.

Существует большой класс линеаризованных систем, для которых коэффициенты уравнений объекта управления медленно меняются во времени. Метод замороженных коэффициентов успешно применяется для таких систем.

Слово «медленно» означает, что в течение нескольких периодов собственных колебаний (3÷4) изменением коэффициентов можно пренебречь, полагая их постоянными. Это позволяет использовать понятие передаточной функции к таким системам, исследуя при этом поведение системы не только в один момент времени (t=0), а для ряда моментов времени, для каждого из которых записывается своя передаточная функция с «замороженными» параметрами, отличающимися от других «замороженных» параметров для других моментов времени.

Необходимое, но недостаточное условие устойчивости – все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь один знак.

Для систем первого и второго порядка, необходимое и достаточное условие устойчивости – положительные коэффициенты.

Использование преобразования Лапласа позволяет рассматривать передаточные функции звеньев систем, упрощая преобразования при объединений различных звеньев системы в единую систему. В этом главная роль данного понятия. Имеется набор правил получения передаточной функции сложного звена по передаточным функциям составляющих его звеньев.

Передаточная функция W(s) двух последовательно соединенных звеньев, имеющих передаточные функции B(s) и H(s) равна произведению этих передаточных функций:

 

 

(1)

 

(2)

 

Действительно из (2): ;

подставляя L _x в (1)

 

; и

 

Таким образом