Релятивистское обобщение модели Бора.

Выше мы уже обращали внимание на то, что в тяжелых водородоподобных системах (Z >> 1) электрон становится релятивистским, т.е. нашей модели уже недостаточно. Рассмотрим теперь релятивистское обобщение модели Бора. Так же как и раньше, ограничимся случаем круговых орбит. Запишем релятивистское уравнение движения в виде

(15.29)

Поскольку на круговой орбите модуль вектора скорости остается постоянным, уравнение (4.29) можно переписать в виде

(15.30)

Здесь - релятивистский фактор. Фактически уравнение движения (15.30)

отличается от нерелятивистского случая (15.11) появлением множителя γ.

Будем также считать, квантовое условие Бора (15.12) верно и при релятивистских

скоростях. Тогда имеем:

(15.31)

Опять имеем два уравнения (15.31) и (15.30) для определения радиусов орбит и соответствующим им скоростей движения. После несложных преобразований получаем

(15.32)

(15.33)

Отметим, в частности, что выражения для скорости движения по орбите, полученные в релятивистском и нерелятивистском случаях, совпадают. Найдем теперь энергию электрона на орбите. Поскольку при движении в кулоновском поле

(15.34)

получим

(15.35)

Может быть, наиболее удивительным является то, что решение задачи существует не для любых Z. Как видно из (15.33) и (15.35) для основного состояния системы (n = 1) полученные выражения теряют смысл для сверхтяжелых ядер с зарядом больше некоторого критического Z ^*:

Z>Z^*=1/ =137

(15.36)

При Z = Z ^* = 137 полная энергия электрона (включая энергию покоя) обращается в

ноль, а орбита имеет нулевой радиус. Для ядер с большим зарядом устойчивой орбиты,

соответствующей случаю n = 1, в рамках модели Бора найти нельзя. То есть модель Бора

фактически предсказывает существование конца таблицы Менделеева. Интересно, что

точно такой же ответ получается и в рамках релятивистской квантовой теории, базирующейся на решении волнового уравнения Дирака17. Проверить сделанные предсказания напрямую вряд ли возможно, поскольку синтезировать ядра со столь большим значением Z (необходимо еще электронную оболочку создать) в настоящее время проблематично.

Чуть более подробно остановимся теперь на случае небольших значений Z и рассмотрим вопрос о релятивистских поправках к энергетическим уровням атома водорода и водородоподобных ионов. Отметим, прежде всего, что в выражение (3.48) включена также энергия покоя электрона, которую мы не учитывали в рамках нерелятивистской теории. Поэтому для сравнения результатов и нахождения релятивистских поправок перепишем выражение (15.35), исключив из него энергию покоя

s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:e></m:rad></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> (15.37)

Проводя в (15.37) разложение корня в ряд Тейлора, получаем

(15.38)

что, как нетрудно видеть, совпадает с выражением (15.22). Релятивистская поправка к

энергии δ E_p получается при учете второго члена разложения корня в (15.37):

(15.39)

Например, для основного состояния атома водорода имеем

 

(15.40)