Кодовые последовательности Уолша, их формирование. Матрицы Адамара. Применение последовательностей Уолша в системах связи

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и -1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из 2^n {\displaystyle 2^{n}}22цув элементов. Группа из {\displaystyle 2^{n}}2^n функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции функции Виленкина — Крестенсона.

М-последовательности. Способ формирования и свойства М-последовательностей. Применение М-последовательностей в системах связи

В настоящее время среди бинарных кодовых последовательностей большой длины наибольшее распространение получили М-последовательности, последовательности Лежандра, кодовые последовательности Голда и Кассами, кодовые последовательности Уолша, нелинейные кодовые последовательностей.

Преимущества М-последовательностей большой длины заключается в уменьшении уровня периодических боковых лепестков функции неопределенности М- последовательностей с ростом ее длины L. Максимальный уровень периодического бокового лепестка ВКФ М-последовательности обратно пропорционален длине последовательности (1/L).

 

M-последовательности

Выше было упомянуто, что оптимальными для расширения спектра сигнала являются последовательности максимальной длины или М-последовательностями. Такие последовательности формируются с помощью цифровых автоматов, основным элементом которых является сдвигающий регистр с ячейками памяти Т1, Т2, …, Т_k (рисунок 2).

Рисунок 2 – Цифровой автомат формирования М-последовательности

 

Тактовые импульсы поступают на все ячейки одновременно с периодом , передвигая за один такт хранящиеся в этих ячейках символы в соседние справа ячейки. Обозначим буквами символы, хранящиеся в соответствующих ячейках на -ом такте. - символ на входе первой ячейки; значение этого символа формируется с помощью линейного рекуррентного соотношения

 

 

В соответствии с значение символа в ячейке с номером умножается на коэффициент и складывается с остальными аналогичными произведениями. Как символы , так и коэффициенты могут иметь значения 0 или 1; операции суммирования при этом выполняются по модулю 2. Если коэффициент , то символ ячейки в формировании значения суммы не участвует.

Если принять содержание ячеек регистра сдвига за исходное состояние, то через тактов это состояние вновь будет иметь место. Если при этом регистрировать последовательность символов -той ячейки, то длина этой последовательности будет равна . На последующих тактах эта последовательность вновь повторится и т.д. Число называется периодом последовательности. Значение при фиксированной длине регистра сдвига зависит от числа и расположения отводов. Для каждого значения можно указать число отводов и их положения, при которых период получаемой последовательности оказывается максимальным. В качестве исходного можно взять любое состояние регистра сдвига (кроме нулевой комбинации); изменение исходного состояния вызовет лишь сдвиг последовательности. Последовательности с максимально возможным периодом при фиксированной длине регистра называются М-последовательностями. Их период (длина) .

Структурную схему автомата, формирующего М-последовательности, принято задавать характеристическим многочленом:

 

(1.16)

 

в котором всегда , . В табл. 1 для указаны наборы значений коэффициентов этого полинома, определяющих последовательности максимальной длины. Знание вектора позволяет однозначно указать структуру цифрового автомата, формирующего соответствующую полиному (1.16) М-последовательность:

– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига подключен к сумматору по модулю 2;

– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига не подключен к сумматору по модулю 2.

Например, при векторам и соответствуют характеристические полиномы:

,

 

.

 

Цифровой автомат, формирующий М-последовательность с характеристическим полиномом , имеет отводы от ячеек регистра с номерами 6 и 7, а с характеристическим полиномом - 2, 5, 6, 7. Обе последовательности имеют длину .

В сотовых системах второго поколения с технологией кодового разделения каналов (стандарт IS-95) используются М-последовательности с длиной регистров сдвига (для расширения спектра сигналов и идентификации базовых станций сети) и (длинный код для скремблирования и идентификации подвижных станций)