Нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами μ, σ², если ее плотность распределения имеет вид

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону равна параметру μ этого закона, а ее дисперсия – параметру σ², т.е. М(X) = μ, D(X) = σ².

Таким образом, нормальное распределение f(x) случайной величины Х характеризуется двумя параметрами: μ - средним значением и σ²- дисперсией. Это обозначается как X ~ N (μ; σ²).

График плотности нормального распределения имеет колоколообразный вид, симметричный относительно центра распределения

Максимум этой функции находится в точ ке x = m, а разброс относительно этой точки определяется параметром s². Чем меньше значение s², тем более острый и высокий максимум f(x).

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами μ = 0, σ² = 1называется стандартным нормальным распределением.

Плотность стандартного нормального распределения есть

.

Любое нормальное распределение f(x) с параметрами μ, σ² с помощью линейного преобразования t = (x – μ)/σ сводится к стандартному нормальному распределению f(t) с центром в нуле и единичной дисперсией, при этом f(x) = f(t)/σ, и f(x)dx = f(t)dt.

Площадь под кривой стандартного нормального распределения f(t)/ в интервале (-t; t) обозначается как Ф(t) и называется функцией Лапласа, т.е.

Ф(t) = .

Функции f(t), Ф(t) табулированы.

Вычислим функцию распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

F(x) = .

Таким образом, F(x) = , где .

Геометрически, функция распределения F(x) представляет собой площадь под нормальной кривой f(x) на интервале (-∞; х).

Замечание. В Excel имеются функции f(x) = НОРМРАСП(x; μ; σ; 0),

F(x) = НОРМРАСП(x; μ; σ; 1), x = НОРМОБР(F; μ; σ).

 

Свойства нормального распределения.

1. Вероятность попадания нормальной случайной величины Х в интервал (х₁,х₂) есть

, где , .

2. Вероятность отклонения нормальной случайной величины Х от среднего μ по модулю меньше Δ > 0, есть

.

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами μ = 5, σ = 0,4. Найти: а) вероятность P(1 < X < 6,1); б) интервал, симметрично расположенный относительно среднего значения, в который с вероятностью 0,98 попадет Х.

▼ а) P(1 < X < 6,1) = = .

б) . Обозначим . По условию Ф(t) = 0,98 Þ

t = 2,33 (по таблице). Из уравнения Þ Δ = 2,33∙0,4 = 0,932.

Симметричный интервал относительно среднего определяется неравенством: |х - 5| < 0,932, или 4,068 < X < 5,932.

Упражнение.

1. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Какова вероятность, что ждать пассажиру не больше полминуты. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – время ожидания поезда. Отв. 0,25; М(Х) = 1 мин.; D(X) = 1/3.

2. Среднее время обслуживания покупателя 20 мин. Чему равна вероятность простоя в очереди от 20 до 40 мин. Отв. 0,23.

3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами μ = 30, σ² = 100. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (10; 50). Отв. 0,9545.

4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами μ = 20, σ = 10. Найти вероятность того, что отклонение этой величины от средней по абсолютной величине будет меньше 5. Отв. 0,3829.