Случайное событие. Алгебра событий. Геометрический и статистический подходы к определению вероятности. Схемы комбинаторики.

Цель занятия: формирование умения вычислять вероятности на основе геометрического и статистического подходов к определению.

Литература: [1, с.30].

Задания.

1. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

2. Миша и Маша условились встретиться в определенном месте между 11 часами и 12 часами, причем каждый пришедший должен ждать другого в течение 20 минут. Какова вероятность того, что встреча состоялась?

3. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра окажется меньше ?

4. В урне 100 шаров белого и черного цвета. Из урны 60 раз вынули по одному шару, каждый раз возвращая его в урну; при этом белый шар появился в 18 случаях. Какое количество белых шаров в урне представляется правдоподобным?

5. При страховании жизни для расчетов пользуются таблицами, которые дают среднее распределение по годам смертных случаев для некоторой совокупности лиц одинакового возраста. Ниже приводится сокращенный вариант такой таблицы:

Возраст
Число доживающих

Пользуясь таблицей, найдите вероятность того, что человек тридцати лет проживет до семидесяти семи лет.

Дополнительные задачи.

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определите количество чисел, в которых есть цифры 2, 4, 5 одновременно.

2. Десять групп занимается в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при котором группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

3. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определите количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии, цвет фигур и номер доски не учитываются).

4. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

5. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

 

Семинар №3. Тема 1. Случайные события.

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы. Теорема Пуассона.

Цель занятия: формирование умения применять формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Пуассона при решении практических задач.

Литература: [1, с.47-53].

Задания.

1. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

б) случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

2. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

3. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем ¾ продукции с процентом брака 4%, вторая – ¼ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие: а) окажется бракованным; б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

4. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это: а) сапоги; б) туфли?

5. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:

а) не менее чем двум покупателям;

б) не более чем трем покупателям;

в) всем четырем покупателям.

6. Работают четыре магазина по продажам стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, трех и четырех магазинах.

7. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна: а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

8. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ровно три изделия;

б) более трех изделий.

9. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?

10. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

11. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено: а) ровно 4 пары; б) ровно 5 пар.

 

Выполните задания для подготовки к контрольной работе на «классическую вероятность»:

 

1. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух монет хотя бы на одной из них выпадет орел.

2. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков не превзойдет 5.

3. Подсчитайте вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из четырех цифр, все цифры окажутся различными.

4. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынули 2 шара. Какова вероятность того, что шары будут разного цвета?

5. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что ровно один из трех взятых билетов окажется выигрышным?

6. Найдите вероятность того, что среди 12 карт, вынутых из колоды в 36 карт, будет по 3 карты каждой масти.

7. Из 80 учащихся 10 отличников. Учащихся разбили на два класса по признакам, не связанным с их успеваемостью. Какова вероятность того, что отличников в классах поровну?

8. У одного из преподавателей в некоторый день недели 2 урока, у другого – 3. Считая, что в этот день во всех классах по 6 уроков, посчитайте вероятность того, что в случае болезни одного из преподавателей другой сможет провести за него все уроки.

9. Десять человек случайным образом садятся на десятиместную скамейку. Найдите вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

10. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынули 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них будет белым?

 

Семинар №4. Тема 2. Cлучайные величины.

Случайная величина. Типы случайных величин. Дискретная случайная величина. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик. Основные законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, пуассоновский.

Цель занятия: формирование умения применять знания о дискретных случайных величинах, законах их распределения и числовых характеристиках при решении практических задач.

Литература: [1, с.63-147 ]

Материал таблицы предложен студентам для анализа на семинаре с последующим обсуждением:

Познакомьтесь с условием задачи и ее решением. Преподавателю и своим коллегам сформулируйте вопросы, которые позволят устранить трудности понимания. Задача. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Составьте закон распределения для СВ Х числа попаданий в мишень. Найдите интегральную функцию распределения, постройте ее график. Определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для числа попаданий в мишень. Решение. Составим закон распределения для СВ Х. Пусть Х – число попаданий в мишень. Х принимает значения 0, 1, 2. Х=0, если оба стрелка промахнутся; вероятность такого события равна . Х=1, если один из стрелков попадет в мишень, а другой промахнется; вероятность такого события равна . Наконец, Х=2, если оба стрелка попадут в мишень, что может произойти с вероятностью . Запишем закон распределения в виде таблицы:   Х       p 0,08 0,44 0,48   Найдем интегральную функцию распределения вероятности СВ Х, построим ее график. На основе закона распределения числа попаданий в мишень находим, что при ; при ; при ; при . Поэтому интегральная функция распределения запишется следующим образом: Нарисуем график функции F .     Найдем числовые характеристики СВ Х: 1) ; 2) ;       p 0,08 0,44 0,48 . 3) .

Задания.

1. Составьте таблицу распределения вероятностей для суммы очков, выпавших при бросании двух игральных костей. Найдите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной величины.

2. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, последовательно вытаскивают по 2 шара (каждый раз возвращая их обратно) до появления двух шаров одного цвета. Составь закон распределения для числа вытаскивания шаров. Найдите математическое ожидание данной величины.

3. В лотерее на каждые 100 билетов приходится один билет с выигрышем в 10 руб., один – в 5 руб., два – в 3 руб., пять – в 1 руб.. Найдите математическое ожидание выигрыша: а) на 1 билет; б) на 10 билетов.

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составьте закон распределения этой величины, определите ее математическое ожидание и дисперсию.

5. Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орел. Составьте таблицу распределения для числа бросаний. Найдите математическое ожидание данной СВ.

6. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

 

Х
р	0,4	0,2	0,1	0,3

 

Y
р	0,5	0,2	0,3

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y.

7. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2: 3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

8. Задан ряд распределения:

Х
р	0,40	0,20	0,20	0,05	0,10	0,05

Найдите М(Х), σ(Х) и М(2Х² + 3).

9. Даны законы распределения независимых случайных величин:

 

Х	-4
р	0,1	0,5	0,4

 

Y
р	0,5	0,5

Найдите М(Z) и D(Z), если Z = (X + Y)/2.

10. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится 5: 4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.

11. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2: 3: 5. Доля брака в продукции первого завода – 5%, второго – 2%, третьего – 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найдите: а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.

12. Стороны прямоугольного участка Х и Y в результате погрешностей измерения оказываются случайными величинами с такими распределениями:

 

Х	19,5	19,7	20,0	20,2
р	0,20	0,05	0,70	0,05

 

Y	29,5	29,8	30,0	30,1
р	0,15	0,15	0,65	0,005

Найдите математическое ожидание площади участка, если известно, что измерения проводились независимыми способами.

13. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 1000 часов работы равно 5. Определите вероятность отказа радиоаппаратуры за 20 часов работы.

14. Завод выпускает 96% приборов первого сорта и 4% приборов второго сорта. Наугад выбирают 1000 штук приборов. Пусть Х – число приборов первого сорта в данной выборке. Найдите закон распределения, среднее значение и дисперсию СВ Х.

 

 

Семинар №5. Тема 2. Cлучайные величины.

Непрерывная случайная величина. Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятностей. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Цель занятия: формирование умения применять знания о непрерывных случайных величинах, их числовых характеристиках при решении практических задач.

Литература: [1, с.155 ]

Задания.

1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

F(x)= .

Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X

f(x)= .

Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.

3. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

f(x)= .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

4. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

f(x)= .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в виде

f(x)= 2С/(1+х²). Найти параметр С.

6. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале

(0; π/4) функцией f(x)=С sin4x. Вне этого интервала f(x)=0. Найти параметр С.

7. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале

(-π/2; π/2) функцией f(x)= Сcos x. Вне этого интервала f(x)=0. Найти параметр С и определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/4).

8. Плотность вероятности случайной величины Х задана формулой

g(x)= .

Найти: а) постоянную С; б) вероятность того, что величина Х примет значение из интервала (0; 1).

9. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

g(x)= .

Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

10. Найти плотность вероятности случайной величины Х, которая имеет функцию распределения: F(x) = .

Семинар №6. Тема 2. Cлучайные величины.