Случайное событие. Алгебра событий. Классический подход к определению вероятности.

Планы лекционных занятий

1. Лекция №1. Тема 1. Случайные события.

2. План лекции. Предмет и содержание курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Связь теории вероятностей и математической статистики. Предмет теории вероятностей. Задачи теории вероятностей.

Случайные события.Алгебра событий. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Какие виды случайных событий Вы знаете? Приведите примеры. Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

2.Какие операции применимы к случайным событиям? Какими свойствами они обладают? Приведите примеры.

3.Какие способы расчёта вероятностей случайных событий Вы знаете? В каких случаях они применимы?

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №2. Тема 1. Случайные события.

2. План лекции. Основные схемы комбинаторики.

Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий. Независимые и зависимые случайные события. Условная вероятность. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Чем отличаются и в чём схожи такие понятия комбинаторики, как сочетания, размещения и перестановки? Приведите примеры.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №3. Тема 1. Случайные события.

2. План лекции. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Чем отличаются совместные и несовместные события? Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

2.Сформулируйте теорему сложения для совместных и несовместных событий.

3.Независимые и зависимые события. Теоремы умножения.

4.В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким свойствам должны удовлетворять гипотезы?

5.Что такое априорные и апостериорные вероятности?

6.Применение и значение формулы Байеса.

7.Какие испытания являются повторными независимыми? Приведите пример. Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при малом числе испытаний?

8.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

9.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и малой вероятности p?

10. Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится от a до b раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №4. Тема 2. Cлучайные величины.

2. План лекции. Случайная величина. Типы случайных величин.

Дискретная случайная величина. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Как Вы понимаете, что такое дискретная случайная величина? Приведите пример.

2.Какими свойствами обладает функция распределения дискретной случайной величины?

3.Какими способами можно задать дискретную случайную величину?

4.Назовите основные числовые характеристики дискретной случайной величины, способы их вычисления и свойства.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №5. Тема 2. Cлучайные величины.

2. План лекции. Случайная величина. Основные законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, пуассоновский, геометрический, гипергеометрический.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Что понимают под дискретной случайной величиной? Приведите примеры дискретных случайных величин.

2. Чем биномиальный закон распределения отличается от пуассоновского закона распределения?

3. Сформулируйте существенные свойства геометрического закона распределения ДСВ.

4. Приведите примеры ДСВ, распределенных по гипергеометрическому закону.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

 

1. Лекция №6. Тема 2. Cлучайные величины.

2. План лекции. Непрерывная случайная величина. Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятностей. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин - равномерный, нормальный, логарифмически-нормальный, экспоненциальный, Парето. Некоторые распределения, связанные с нормальным распределением.

Нормальный закон распределения. Функция плотности вероятности – функция Гаусса. Функция распределения. Функция Лапласа. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Как Вы понимаете, что такое непрерывная случайная величина? Приведите пример.

2.Какими свойствами обладает функция распределения непрерывной случайной величины?

3.Какими способами можно задать непрерывную случайную величину?

4.Какими свойствами обладает функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины? Что она показывает?

5.Назовите основные числовые характеристики непрерывной случайной величины, способы их вычисления и свойства.

6.Почему нормальный закон распределения вынесен в отдельную тему теории вероятностей? К какому типу случайных величин он относится?

7.Как называется функция плотности вероятностей нормального закона распределения и какими свойствами обладает?

8.Что такое функция Лапласа, для чего она используется и какими свойствами обладает? Функция распределения нормально распределённой случайной величины.

9.Стандартный нормальный закон распределения. Его свойства.

10. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины, их влияние на график функции плотности вероятностей.

11. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. Правило трёх сигм.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

 

1. Лекция №7. Тема 3. Статистическое оценивание.

2. План лекции. Задачи математической статистики в области социально-экономических исследований.

Генеральная и выборочная совокупности. Задачи оценивания. Вариационный ряд и его характеристики. Точечные оценки и их свойства. Несмещенность, состоятельность и эффективность. Методы получения точечных оценок. Законы распределения выборочных характеристик (статистик). Таблицы математической статистики.

Статистики, имеющие распределения: нормальное, Пирсона ( -распределение), Стьюдента (t-распределение), Фишера-Снедекора (F-распределение). Распределение выборочного коэффициента корреляции.

Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Дайте определения генеральной и выборочной совокупности.

2.Перечислите свойства точечных оценок.

3.Назовите основные методы получения точечных оценок.

4.Укажите основные этапы получения интервальных оценок.

5.Укажите распределения статистик, используемых при интервальном оценивании определенных параметров распределения.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №8. Тема 4. Проверка статистических гипотез.

2. План лекции. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные гипотезы. Статистический критерий. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия.

Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности (доли, средней и дисперсии) заданным значениям (стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Дайте определения статистических гипотез - нулевой и конкурирующей.

2.Дайте определение статистического критерия.

3.Укажите условия нахождения границ критической области.

4.Дайте определения уровня значимости, мощности критерия.

5.Дайте определение ошибок первого и второго рода.

6.Укажите основные этапы процедуры проверки гипотез.

7.Укажите распределения статистик, используемых при проверке определенных статистических гипотез.

8.Укажите алгоритм расчета мощности критерия при проверке различных статистических гипотез.

9.Назовите основные этапы процедуры проверки гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

 

1. Лекция №9. Тема 5. Корреляционный анализ.

2. План лекции. Предпосылки корреляционного анализа. Модель корреляционного анализа. Двумерная модель и точечная оценка ее параметров. Проверка значимости и интервальные оценки коэффициентов связи.

3. Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Дайте определение корреляционной зависимости между случайными величинами.

2.Укажите основные задачи корреляционного анализа.

3.Назовите предпосылки корреляционного анализа.

4.Перечислите параметры двумерной модели корреляционного анализа и этапы процедуры ее анализа.

5.Перечислите свойства парного линейного коэффициента корреляции.

6.Назовите меры тесноты трехмерной корреляционной модели.

7.Дайте определения частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

8.Перечислите свойства частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

9.Укажите взаимосвязь между значимостью различных параметров трехмерной корреляционной модели.

4.(Ссылки на литературные источники, приведенные в рабочей учебной программе дисциплины.)

Планы семинарских занятий

 

Семинар №1. Тема 1. Случайные события.

Схемы комбинаторики.

Цель занятия: формирование умения применять формулы комбинаторики для подсчета полного и благоприятного числа исходов для последующего вычисления вероятности на основе классического определения.

Литература: [1, с.30] (**во всех семинарах далее в качестве литературы предложен базовый учебник, который имеется в библиотеке Филиала академии:Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – 12-е изд., перераб./ В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2008. - 479с.

 

Задания.

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определите количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить меду собой обязанности?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных их группы в 20 человек?

4. Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков?

5. В вазе 10 красных и 4 розовых астры. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?

6. Тридцать человек разбиты на три группы, по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

7. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0,1,3,5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

8. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

9. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирается двое дежурных. Определите количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз?

10. Докажите: ; .

11. Найдите x и y, если

12. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определите вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

13. А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определите вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.

14. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определите вероятность того, что он выиграет хотя бы на один билет.

15. Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найдите вероятность следующих событий: а) А = “Первый студент взял хороший билет”; б) В = “Второй студент взял хороший билет”; в) С = “Оба студента взяли хорошие билеты”.

16. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

17. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей начиная со второго. Найти вероятность следующих событий: А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже}; В = {все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже)}; С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.

18. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

19. Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий: а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия; б) в выборке будет одно бракованное изделие?

20. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

21. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными?

22. На склад привезли 50 ящиков комплектующих изделий для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Найти вероятность того, что в одном из этих шести ящиков окажутся некомплектные детали?

23. В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

Семинар №2. Тема 1. Случайные события.

Задания.

1. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

2. Миша и Маша условились встретиться в определенном месте между 11 часами и 12 часами, причем каждый пришедший должен ждать другого в течение 20 минут. Какова вероятность того, что встреча состоялась?

3. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Какова вероятность того, что расстояние точки от центра окажется меньше ?

4. В урне 100 шаров белого и черного цвета. Из урны 60 раз вынули по одному шару, каждый раз возвращая его в урну; при этом белый шар появился в 18 случаях. Какое количество белых шаров в урне представляется правдоподобным?

5. При страховании жизни для расчетов пользуются таблицами, которые дают среднее распределение по годам смертных случаев для некоторой совокупности лиц одинакового возраста. Ниже приводится сокращенный вариант такой таблицы:

Возраст
Число доживающих

Пользуясь таблицей, найдите вероятность того, что человек тридцати лет проживет до семидесяти семи лет.

Дополнительные задачи.

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определите количество чисел, в которых есть цифры 2, 4, 5 одновременно.

2. Десять групп занимается в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при котором группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

3. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определите количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии, цвет фигур и номер доски не учитываются).

4. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

5. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

 

Семинар №3. Тема 1. Случайные события.

Задания.

1. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

б) случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

2. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

3. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем ¾ продукции с процентом брака 4%, вторая – ¼ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие: а) окажется бракованным; б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

4. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это: а) сапоги; б) туфли?

5. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:

а) не менее чем двум покупателям;

б) не более чем трем покупателям;

в) всем четырем покупателям.

6. Работают четыре магазина по продажам стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, трех и четырех магазинах.

7. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна: а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

8. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ровно три изделия;

б) более трех изделий.

9. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?

10. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

11. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено: а) ровно 4 пары; б) ровно 5 пар.

 

Выполните задания для подготовки к контрольной работе на «классическую вероятность»:

 

1. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух монет хотя бы на одной из них выпадет орел.

2. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков не превзойдет 5.

3. Подсчитайте вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из четырех цифр, все цифры окажутся различными.

4. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынули 2 шара. Какова вероятность того, что шары будут разного цвета?

5. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что ровно один из трех взятых билетов окажется выигрышным?

6. Найдите вероятность того, что среди 12 карт, вынутых из колоды в 36 карт, будет по 3 карты каждой масти.

7. Из 80 учащихся 10 отличников. Учащихся разбили на два класса по признакам, не связанным с их успеваемостью. Какова вероятность того, что отличников в классах поровну?

8. У одного из преподавателей в некоторый день недели 2 урока, у другого – 3. Считая, что в этот день во всех классах по 6 уроков, посчитайте вероятность того, что в случае болезни одного из преподавателей другой сможет провести за него все уроки.

9. Десять человек случайным образом садятся на десятиместную скамейку. Найдите вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

10. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынули 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из них будет белым?

 

Семинар №4. Тема 2. Cлучайные величины.

Случайная величина. Типы случайных величин. Дискретная случайная величина. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик. Основные законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, пуассоновский.

Цель занятия: формирование умения применять знания о дискретных случайных величинах, законах их распределения и числовых характеристиках при решении практических задач.

Литература: [1, с.63-147 ]

Материал таблицы предложен студентам для анализа на семинаре с последующим обсуждением:

Познакомьтесь с условием задачи и ее решением. Преподавателю и своим коллегам сформулируйте вопросы, которые позволят устранить трудности понимания. Задача. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Составьте закон распределения для СВ Х числа попаданий в мишень. Найдите интегральную функцию распределения, постройте ее график. Определите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для числа попаданий в мишень. Решение. Составим закон распределения для СВ Х. Пусть Х – число попаданий в мишень. Х принимает значения 0, 1, 2. Х=0, если оба стрелка промахнутся; вероятность такого события равна . Х=1, если один из стрелков попадет в мишень, а другой промахнется; вероятность такого события равна . Наконец, Х=2, если оба стрелка попадут в мишень, что может произойти с вероятностью . Запишем закон распределения в виде таблицы:   Х       p 0,08 0,44 0,48   Найдем интегральную функцию распределения вероятности СВ Х, построим ее график. На основе закона распределения числа попаданий в мишень находим, что при ; при ; при ; при . Поэтому интегральная функция распределения запишется следующим образом: Нарисуем график функции F .     Найдем числовые характеристики СВ Х: 1) ; 2) ;       p 0,08 0,44 0,48 . 3) .

Задания.

1. Составьте таблицу распределения вероятностей для суммы очков, выпавших при бросании двух игральных костей. Найдите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной величины.

2. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, последовательно вытаскивают по 2 шара (каждый раз возвращая их обратно) до появления двух шаров одного цвета. Составь закон распределения для числа вытаскивания шаров. Найдите математическое ожидание данной величины.

3. В лотерее на каждые 100 билетов приходится один билет с выигрышем в 10 руб., один – в 5 руб., два – в 3 руб., пять – в 1 руб.. Найдите математическое ожидание выигрыша: а) на 1 билет; б) на 10 билетов.

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составьте закон распределения этой величины, определите ее математическое ожидание и дисперсию.

5. Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орел. Составьте таблицу распределения для числа бросаний. Найдите математическое ожидание данной СВ.

6. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

 

Х
р	0,4	0,2	0,1	0,3

 

Y
р	0,5	0,2	0,3

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y.

7. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2: 3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

8. Задан ряд распределения:

Х
р	0,40	0,20	0,20	0,05	0,10	0,05

Найдите М(Х), σ(Х) и М(2Х² + 3).

9. Даны законы распределения независимых случайных величин:

 

Х	-4
р	0,1	0,5	0,4

 

Y
р	0,5	0,5

Найдите М(Z) и D(Z), если Z = (X + Y)/2.

10. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится 5: 4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найдите: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа годных изделий среди отобранных.

11. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2: 3: 5. Доля брака в продукции первого завода – 5%, второго – 2%, третьего – 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найдите: а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.

12. Стороны прямоугольного участка Х и Y в результате погрешностей измерения оказываются случайными величинами с такими распределениями:

 

Х	19,5	19,7	20,0	20,2
р	0,20	0,05	0,70	0,05

 

Y	29,5	29,8	30,0	30,1
р	0,15	0,15	0,65	0,005

Найдите математическое ожидание площади участка, если известно, что измерения проводились независимыми способами.

13. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 1000 часов работы равно 5. Определите вероятность отказа радиоаппаратуры за 20 часов работы.

14. Завод выпускает 96% приборов первого сорта и 4% приборов второго сорта. Наугад выбирают 1000 штук приборов. Пусть Х – число приборов первого сорта в данной выборке. Найдите закон распределения, среднее значение и дисперсию СВ Х.

 

 

Семинар №5. Тема 2. Cлучайные величины.

Непрерывная случайная величина. Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности вероятностей. Основные числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Цель занятия: формирование умения применять знания о непрерывных случайных величинах, их числовых характеристиках при решении практических задач.

Литература: [1, с.155 ]

Задания.

1. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

F(x)= .

Найти плотность вероятности f(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X

f(x)= .

Найти функцию распределения F(х) и построить ее график.

3. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

f(x)= .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

4. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

f(x)= .

Найти функцию распределения вероятностей и построить график.

5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в виде

f(x)= 2С/(1+х²). Найти параметр С.

6. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале

(0; π/4) функцией f(x)=С sin4x. Вне этого интервала f(x)=0. Найти параметр С.

7. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале

(-π/2; π/2) функцией f(x)= Сcos x. Вне этого интервала f(x)=0. Найти параметр С и определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/4).

8. Плотность вероятности случайной величины Х задана формулой

g(x)= .

Найти: а) постоянную С; б) вероятность того, что величина Х примет значение из интервала (0; 1).

9. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

g(x)= .

Найти интегральную функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

10. Найти плотность вероятности случайной величины Х, которая имеет функцию распределения: F(x) = .

Семинар №6. Тема 2. Cлучайные величины.

Задания.

Равномерное распределение.

1.1 Вычислите числовые характеристики СВ с равномерным распределением.

1.2 Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [1;6]. Найти функцию распределения F(х), математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины.

1.3 Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0;4]. Найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины Х.

1.4 Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время (математическое ожидание) и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

1.5 Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые 2 часа. Считая, что время прибытия машин – случайная величина Х – распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

 

Нормальное распределение.

3.1 Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадает случайная величина.

3.2 Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.

3.3 Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины – количества сыра, используемого для приготовления 100 бутербродов, - равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовления 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.