Вариационные ряды и их характеристики

 

Вариационный ряд – это запись результатов измерений какой-либо случайной величины в виде последовательности чисел. Значения исследуемой случайной величины называют вариантами.

Упорядоченный вариационный ряд – это последовательность вариант, записанная в порядке возрастания (или убывания).

Для обработки результатов статистических наблюдений их удобно оформлять в виде таблицы частот.

Статистическое распределение – таблица частот, в которой указаны значения случайной величины x_i и соответствующие частоты т_i, показывающие, сколько раз в выборке встретилось данное значение случайной величины.

Для получения интервальной таблицы частот (интервального вариационного ряда) весь диапазон измеренных значений случайной величины Х делят на k интервалов (a_i, a_i+1) и подсчитывают количество (т_i ) значений случайной величины, попавших на соответствующий интервал. Кроме того, в таблице указывают также величину – середину i -ого интервала (табл. 1).

 

Таблица 1. Интервальная таблица частот

№ интервала	Интервал	Середина интервала	Частота
i	(ai, ai+1)		тi
	(a1, a2)		т 1
	(a2, a3)		m 2
…	…	…	…
k	(a k, a k +1)		mk

 

Здесь m ₁ + m ₂ +... + m_k = n (п – объем выборки, т. е. количество всех вариант).

Иногда вместо таблицы частот составляют таблицу относительных частот , (п – объем выборки), очевидно, .

 

Для графического представления вариационных рядов используют полигон, гистограмму, кумуляту.

Полигон – это ломаная, соединяющая точки с координатами (x_i; т_i).

Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки оси, равные интервалам (a_i, a_i+1), а высоты пропорциональны частотам т_i, (или относительным частотам w_i).

Кумулята (кумулятивная кривая) – это ломаная, соединяющая точки с координатами (x_i; т_i^н) или (x_i; w_i^н), где – накопленная частота; – накопленная относительная частота.

 

При обработке вариационных рядов обычно подсчитывают их сводные числовые характеристики: средние величины и показатели вариации.

К средним величинам относятся среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое всех вариант вычисляется по формуле

, (20)

где x_i – значения вариант, п – общее количество вариант.

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по количеству элементов части:

. (21)

Мода – это варианта, которой соответствует наибольшая частота.

 

К показателям вариации относятся размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант: R = X_max – X_min.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле . (22)

Среднее квадратичное отклонение (23)