Тема 19. Перевірка правильності нульових гіпотез про рівність двох генеральних середніх та двох дисперсій

 

1. Електролампочки на 220 В виготовлялися двома електроламповими заводами. З першої партії, виготовленої заводом № 1, здійснили вибірку обсягом =25, а з другої партії – обсягом = 36. Першу і другу партії електролампочок перевірили на тривалість роботи. Результати перевірки наведено у вигляді статистичних розподілів такого вигляду:

yi

xj

Відомо, що ознаки Y – тривалість роботи електролампочки першого заводу і Y – тривалість роботи електролампочки другого заводу є випадковими величинами, які незалежні між собою і мають нормальний закон розподілу зі значеннями
= 50, = 72. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

2. У двох партіях містяться однотипні шарикопідшипники, виготовленi двома заводами. Вимірювання їх діаметрів дали результати, які наведено у вигляді двох статистичних розподілів:

yi, мм	6,64	6,7	6,74	6,78	6,82		xj, мм	6,58	6,6	6,8		7,2

При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза ,

коли відомі значення ; .

 

3. З двох партій монет вартістю 5 коп. було вибрано 50 і 60 штук, які зважували на терезах. Результати цих зважувань подано у вигляді двох статистичних розподілів:

yi,г	9,4	9,6	9,8		10,2		xj,мг	9,33	9,63	9,93	10,23	10,53

Припускаючи, що Х і Y мають нормальний закон розподілу і незалежні між собою, при рівні значущості перевірити

, якщо альтернативна гіпотеза ,

коли відомі значення ; .

 

4. Вимірювання зросту дітей віком шість років, випадково вибраних із двох дитячих садків, дало такі результати:

yi, м	0,52	0,58	0,64	0,72	0,8		xj, м	0,48	0,56	0,64	0,72	0,8

Беручи до уваги, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

5. Кров’яний тиск було виміряно (в умовних одиницях) y 20 осіб віком 40 років із одного району міста і в 18 осіб того самого віку з іншого району міста. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi

xj

Припускаючи, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

6. Пружність вимірювалась на зразках, виготовлених з однієї і тієї самої марки сталі і вибраних із двох партій. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi	36,8	38,8	40,8	42,8	44,8		xj	34,2	38,2	42,2	46,2	50,2

Зважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

7. Протягом року вимірювалась продуктивність праці (в тис. грн/ працівн.) у двох будівельних фірмах. Результати вимірювання подано статистичними розподілами:

yi

xj

Вважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

8. Визначався обсяг валової продукції на підприємствах однієї і тієї ж галузі у двох районах України. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами:

yi,млн.грн

xj,млн.грн.

Ураховуючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

9. Досліджувався місячний прибуток робітників у гривнях двох заводів однієї і тієї ж галузі виробництва. Результати досліджень подано двома статистичними розподілами:

yi	150,6	160,6	170,6	180,6	190,6		xj	140,8	160,8	180,8	200,8	220,8

Ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

10. Вимірювався вміст золи в умовних одиницях в цукрових буряках, що вирощувалися на двох ділянках господарства з однаковим складом добрив у ґрунті. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi	0,652	0,692	0,732	0,772	0,812		xj	0,664	0,684	0,704	0,724	0,744	0,764

Ознаки Х і Y є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

11. Визначалась урожайність зеленої маси вівса, зібраного у двох районах області. Результати розрахунків наведено у вигляді статистичних розподілів:

yi, ц/га

xj, ц/га

Ураховуючи, що ознаки Х і Y (урожайність в ц/га) є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

12. Норма витрат на технічне обслуговування і ремонт нових марок тракторів вимірювалась у двох сільських господарствах району. Результати вимірювань показано двома статистичними розподілами:

yi, грн/га	0,58	0,6	0,62	0,64	0,66		xj, грн/га	0,56	0,6	0,64	0,7	0,74

Ознаки Х і Y (норми витрат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

13. Визначалися річні середні витрати електроенергії на комунально-побутові вимоги для одного мешканця у двох містах. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами для першого і другого міст:

yi, Вт/м.

xj, Вт/м.

Ознаки Х і Y (річні витрати в кВт/особу) є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези.

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

14. Вимірювання вмісту азоту в цукрових буряках, які вирощувалися на двох ділянках, розміщених у різних місцях колективного господарства, з однаковим складом ґрунту показав результати, що наведені у двох статистичних розподілах:

yi, умов. од.	1,24	1,28	1,32	1,36	1,4	1,44		хj, умов. од.	1,14	1,18	1,22	1,26	1,3

Ознаки Х і Y (вміст азоту) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

15. Вимірювання значень наробки на мотор автомобіля, що здійснювався у двох автопарках міста, наведено у вигляді статистичних розподілів:

yi, тис. км	1,9	2,15	2,4	2,65	2,9	3,15		xj, тис. км	1,8		2,2	2,4	2,6	2,8

Ознаки Х і Y (наробки в тис. км) є випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

16. Заміри довжини волокон вовни, одержаної від овець, що утримувалися на двох фермах, подано двома статистичними розподілами:

yi, мм

xj, мм

Ознаки Х і Y (довжини волокон) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

17. У двох автопарках виміряли витрати палива автомобілем за одну годину. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, кг/год		35,2	35,4	35,6	35,8			xj, кг/год	35,4	35,8	36,2	36,6

Ознаки Х і Y (витрати палива за год) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

18. Вимірювалось споживання масла за одну добу одним мешканцем у двох регіонах країни. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, мг	15,99	18,99	21,99	24,99	27,99		xj, мг	14,55	20,55	26,55	32,55	38,55

Ознаки Х і Y (добове споживання масла в мг) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

19. Вимірювання маси в грамах пухових волокон від овець подано двома статистичними розподілами:

yi, г	4,44	4,84	5,24	5,64	6,04		xj, г	4,36	4,96	5,46	5,96	6,46

Ознаки Х і Y (маса волокон в грамах) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези

, якщо альтернативна гіпотеза .

 

20. Вимірювалась жива маса курчат, які відгодовувалися на двох птахофермах. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:

yi, г	96,5	99,5	102,5	108,5	111,5		xj, г	85,5	105,5	125,5	145,5	165,5

Ознаки Х і Y (жива маса курчат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу ймовірностей. Якщо рівень значущості a = 0,01, перевірте правильність нульової гіпотези

, за альтернативної гіпотези .

 

Тема 20. Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу

 

1. У результаті проведення досліду з метою з’ясування впливу чорного пару на врожайність пшениці з ділянки в 9 га (3 га були під чорним паром; 3 га – під картоплею; 3 га – під кормовими травами) дістали такі результати:

Фактор	Врожайність, ц/га
Чорний пар	26,6; 26,6; 30,6
Площа під картоплею	24,3; 25,2; 25,2
Площа під кормовими травами	26,6; 28,0; 31,0

За рівень значущості береться a= 0,01.

 

2. Експериментально досліджувався вплив на зносостійкість колінчатих валів технології їх виготовлення – вплив фактора А, який має чотири рівні, тобто застосовувалися чотири технології виготовлення валів.

Одержані результати наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А	Кількість відпрацьованих місяців
А 1	9; 8; 10; 12
А 2	10; 12; 11; 8
А 3	8; 16; 10; 18
А 4	9; 18; 10; 8

При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив технологій на зносостійкість валів.

 

3. Для перевірки впливу методики навчання виробничим навикам на якість підготовки із випускників виробничо-технічного училища навмання вибирають чотири групи учнів, які після закінчення навчання за різними методиками тестувалися на кількість виготовлених однотипних деталей протягом робочої зміни.

Результати тестування наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (методики)	Кількість виготовлених деталей за робочу зміну
А 1	60, 80, 75, 80, 85, 70
А 2	75, 66, 85, 80, 70, 80, 90
А 3	60, 80, 65, 60, 86, 75
А 4	95, 85, 100, 80

При рівні значущості a = 0,05 з’ясувати вплив методики навчання на якість підготовки учнів.

 

4. Залежність урожайності пшениці досліджується від сорту пшениці, яких чотири. Результати досліджень наведені в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (сорт пшениці)	Урожайність, ц/га
А 1	28,7; 26,7; 21,6; 25,0; 28,2
А 2	24,5; 28,5; 27,7; 28,7; 32,5
А 3	23,2; 24,7; 20,0; 24,0; 24,0
А 4	29,0; 28,7; 20,5; 28,0; 27,0

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив сортності пшениці на її врожайність.

 

5. Стальні болти з різною добавкою компоненти А в сталі, з якої вони виготовлялися, були піддані випробуванням на міцність.

Результати цих випробувань наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (відсоткова добавка)	Міцність, кг/мм^2
А 1	25; 28; 20; 22
А 2	29; 22; 21; 18
А 3	19; 25; 30; 22
А 4	18; 30; 24; 20

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив добавки компоненти на міцність болта.

 

6. Електролампочки напругою 220 В виготовлялися на трьох заводах із використанням різних технологій. З кожної партії, що надходили в науково-дослідний інститут від кожного заводу, навмання брали по чотири електролампочки і піддавали їх випробуванням на тривалість горіння.

Результати цього експерименту наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (технології виготовлення)	Тривалість горіння, год
А 1	90; 85; 105; 110; 95
А 2	80; 110; 115; 90; 105
А 3	75; 120; 110; 90; 85

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив технологій виготовлення на тривалість горіння лампочок.

7. Рейтинг лівих партій, що вимірювався у навмання вибраних шести районах на Заході України, у центральній її частині і на Сході, дав такі результати:

Ступінь впливу фактора А	Рейтинг, %
А1 (західні райони)	14,5; 5,6; 23,8; 6,4; 26,2; 14,5
А2 (центральні райони)	22,5; 12,2; 24,8; 16,8; 11,9; 26,6
А3 (східні райони)	13,4; 20,8; 30,8; 20,8; 6,4; 12,3

При рівні значущості a = 0,001 з’ясувати, чи впливає істотно регіон України на рейтинг лівих партій.

 

8. На дослідних ділянках, кожна з яких має площу 6 га, досліджувалась залежність урожайності пшениці від внесення в ґрунт добрив
А ₁, А ₂, А ₃, А ₄.

Результати експерименту наведено в таблиці:

Ступінь впливу фактора А (тип добрива)	Урожайність, ц/га
А 1	25,6; 36,2; 22,8; 30,2; 32,5; 28,4
А 2	28,5; 40,6; 42,8; 36,4; 22,4; 29,6
А 3	24,4; 38,6; 48,4; 50,2; 28,4; 22,8
А 4	29,5; 52,8; 24,2; 22,8; 56,2; 48,4

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив типу добрива, що вноситься в ґрунт, на урожайність пшениці.

 

9. З кожної із 8 партій однотипних заготовок навмання бралися заготовки, які оброблялися на трьох верстатах-автоматах різної модифікації. Кількість деталей, виготовлена верстатами, досліджувалася на стандартність.

Результати досліджень подано в таблиці:

Фактор А (тип верстатів-автоматів)	Кількість деталей, виготовлених верстатами-автоматами, що відповідають стандарту
А 1	100; 86; 90; 89; 95; 22; 80; 79
А 2	99; 82; 98; 88; 100; 96; 98; 100
А 3	100; 88; 86; 98; 98; 100; 99; 99

При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив модифікації верстатів-автоматів на якість виготовлених деталей.

 

10. Проводилось дослідження розподілу числа кров’яних тілець у певній одиниці об’єму крові в людей, що перебували певний час у трьох зонах на різній відстані від Чорнобильської АЕС та в зоні, вільній від радіації.

Результати досліджень наведено в таблиці:

Фактор А (зони)	Кількість кров’яних тілець
А 1 (в зоні АЕС)	6; 8; 3; 2; 6; 9
А 2 (на відстані 50 км)	5; 4; 10; 11; 6; 8
А 3 (на відстані 100 км)	5; 4; 13; 12; 10; 15
А 4 (вільна від радіації зона)	18; 16; 21; 20; 22; 21

При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив перебування людини в певній зоні на кількість кров’яних тілець.

 

11. Залежність між зростом Y та масою дітей Х наведена в таблиці:

Y = yi, м	0,620	0,580	0,640	0,650	0,670	0,680	0,695	0,699	0,710
Маса X = xi, кг	0,531	0,524	0,541	0,550	0,559	0,620	0,632	0,672	0,682

Y = yi, м	0,715	0,725	0,781	0,790	0,795	0,800	0,810	0,850	0,860
Маса X = xi, кг	0,689	0,692	0,694	0,698	0,690	0,710	0,720	0,725	0,730

 

12. Залежність кількості проданих пар чоловічого взуття Y від його розміру Х наведена в таблиці:

Y = yi, шт.
X = xi

 

13. Вимірювання температури в грудні, здійснені у двох містах, що умовно позначені А і В, наведено в таблиці:

Місто А Y = yi,°С	– 10,2	– 11,5	– 12,4	– 12,8	– 13,0	– 13,5	– 14,2	– 14,6
Місто В X = xi ,,°С	– 20,2	– 20,5	– 21,4	– 21,8	– 22,0	– 22,5	– 22,8	– 22,8

Місто А Y = yi,°С	– 14,6	– 15,7	– 16,4	– 17,2	– 17,5	– 18,2	– 18,6	– 18,9
Місто В X = xi ,,°С	– 23,2,	– 24,1	– 24,5	– 25,1	– 25,8	– 26,0	– 26,5	– 27,0

 

14. Зі старшого класу навмання вибраної середньої школи було відібрано групу учнів. Дані про їх середньорічні оцінки з математики та решти дисциплін в балах наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

 

15. Конденсатор було заряджено до повної напруги в певний момент часу t, після цього він починає розряджатися. Залежність напруги Y від часу розряджання Х наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

 

16. Залежність урожайності пшениці Y від глибини зволоження Х наведено в таблиці:

Y = yi, ц/га
X = xi, см

Y = yi, ц/га
X = xi, см

 

17. Показники товарообігу Y та суми витрат Х, які досліджувалися в 20-ти магазинах, наведено в таблиці:

Y = yi, грн.
X = xi, грн.

Y = yi, грн.
X = xi, грн.

 

18. Результати вимірювання чутливості Y відеоканалу та звукового каналу Х наведено в таблиці:

Y = yi
X = xi

Y = yi
X = xi

 

19. Залежність величини зносу різця Y від тривалості роботи Х показано в таблиці:

Y = yi, мм	30,0	29,1	28,4	28,1	28,0	27,7	27,5	27,2	27,0
X = xi, год

Y = yi, мм	26,8	26,5	26,3	26,1	25,7	25,3	24,3	24,1	24,0
X = xi, год

 

20. Залежність кров’яного тиску Y людини (в умовних одиницях) від довжини руки Х наведена в таблиці:

Y = yi, умов. од.
X = xi, см	62,1	61,1	61,0	60,5	60,0	59,0	58,5	58,0	57,5

Y = yi, умов. од.
X = xi, см	56,5	56,0	55,5	55,0	54,5	54,0	53,5	53,0	52,5

Список рекомендованої літератури

 

Основна література:

 

1. Барковський В. В. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика / Барковський В. В., Барковська Н. В., Лопатін О. К. – К.: НАУ, 1999. – 447 с.

1. Бугір М. К. Посібник з теорії ймовірності та математичної статистики / Бугір М. К. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. – 176 с.

2. Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. / Жлуктенко В.І., Наконечний С. І. – Ч. 1. Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000. – 304 с.

3. Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. / Жлуктенко В.І., Наконечний С. І. – Ч. 2. Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2001. – 336 с.

4. Турчин В. М. Математична статистика. Посібник / Турчин В. М. – К.: Видавничий центр „Академія”, 1999. – 240 с.

5. Черняк О. І. Теорія ймовірностей та математична статистика: Збірник задач: Навч. посіб. / Черняк О. І., Обушна О. М., Ставицький А. В. – К.: Т-во „Знання”, КОО, 2001. – 199 с.

Додаткова література:

 

1. Жалдак М.І. Теорія ймовірностей і математична статистика з елементами інформаційної технології / Берлінська С.Ю., Жалдак М.І., Кузьміна Н.М.– К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. / Гмурман В. Е. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

3. Каніовська І. Ю. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах / Каніовська І. Ю. – К.: Політехніка НТУУ КПІ, 2004. – 154 c.

4. 4. Чорней Р. К. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для вищ. навч. Закл / Дюженкова О. Ю., Жильцов О. Б., Чорней Р. К. та ін.; За ред. Чорнея Р. К. – К.:МАУП, 2003. – 328 с.

 

Список використаних джерел

 

5. Ачкасов А.Є. Теорія імовірностей і математична статистика / Ачкасов А.Є., Плакіда В.Т. та ін. – Харків: ХНАМГ, 2008. – 247 с.

6. Барковський В. В. Математика для економістів. Теорія ймовірностей та математична статистика / Барковський В. В., Барковськ Н. В., Лопатін О. К. – К.: НАУ, 1999. – 447 с.

7. Вентцель Е.С., Задачи и упражнения по теории вероятностей / Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. – М.: Высш. школа, 2000. – 416 с.

8. Волощенко А. Б. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. / Волощенко А. Б., Джалладова І. А.– К.: КНЕУ, 2003. – 256 с.

9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / Гмурман В.Е. – М.: Высш. школа, 2004. – 479 с.

10. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / Гмурман В. Е. – М.: Высш. школа, 2005. – 404 с.

11. Горбань С. Ф. Теория вероятностей и математическая статистика / Горбань С. Ф., Снижко Н. В. – К.: МАУП, 1999. – 164 c.

12. Гусак А.А. Теория вероятностей: Справочное пособие к решению задач / Бричикова Е.А., Гусак А.А. – Минск: НТООО “Тетра Системс”, 2000. – 288 с.

13. Жалдак М.І. Теорія ймовірностей і математична статистика з елементами інформаційної технології / Берлінська С.Ю., Жалдак М.І., Кузьміна Н.М.– К.: Вища школа, 1995. – 351 с.

14. Жлуктенко В.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник. У 2 ч. / Жлуктенко В.І., Наконечний С. І. – К.: КНЕУ, 2000. –304 с.

15. Каніовська І. Ю. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах / Каніовська І. Ю. – К.: Політехніка НТУУ КПІ, 2004. – 154 c.

16. Каплан А.В. Решение экономических задач на компьютере / Каплан А.В., Каплан В.Е, Мащенко М.В., Овечкина Е.В. – М.: ДМК Пресс, 2004. – 600 с.

17. Колде Я. К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике / Колде Я. К. – М.: Высш. школа, 1991. – 158 с.

18. Колосов А.И. Теория вероятностей и математическая статистика / Колосов А.И., Печенежский Ю.Е., Станишевский С.А. – Харьков: ХНАГХ, 2008. – 52 с.

19. Конет І. М. Теорія ймовірностей та математична статистика в прикладах і задачах / Конет І. М. – Кам’янець-Подільський: Абетка, 2001. – 218 с.

20. Копич.І.М. Елементи теорії ймовірностей і марематичної статистики: теорія та практикум / Копич І. М., Сороківський В. М. –Львів: Вид-во ЛКА, 2001. –336 с.