Разложение элементарных функций в ряд Маклорена и в ряд Фурье

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь разложить функцию в ряд Маклорена и в ряд Фурье.

Пояснения к работе

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде степенного ряда.

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки , то разложение функции по степеням имеет вид: .

Говорят, что функция разложена в ряд Маклорена.

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

1. Найти производные , , ,…, ,…;

2. Вычислить значения производных в точке ;

3. Составить ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости

4. Найти интервал ), в котором остаточный член ряда Маклорена при .

№	Разложение функции в ряд Маклорена	Интервал сходимости степенного ряда и область определения функции

Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся в ряд Маклорена функции : . Заменим в этом разложении на , получим

или . Разложение справедливо при любом , поэтому ряд Маклорена для функции сходится к порождающей его функции на всей его оси.

Ряды Фурье

Любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, т. е.в виде тригонометрического ряда:

,

где , , -действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если коэффициенты тригонометрического ряда определяются по формулам , и , то их называют коэффициентами ряда Фурье, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами – рядом Фурье функции :

.

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция – четная, то ее ряд Фурье имеет вид:

, где , .

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция – нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид:

, где .

Разложить в ряд Фурье функцию , , .

Решение. Дана нечетная функция, поэтому она разлагается в ряд по синусам. Найдем :

.

Тогда ряд Фурье имеет вид: .

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. Найдем коэффициенты Фурье ,

,

Таким образом, ряд Фурье для функции имеет вид .

Ответ: .

Задание

 

 

Вариант 1

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 2

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 3

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

 

Вариант 4

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 5

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

Вариант 6

Задача 1. Разложите в ряд Маклорена функции: .

Задача 2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию

 

 

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Где в практике используют разложение функций в ряд Маклорена?

2. Где в практике используют ряды Фурье?

3. Как изменится ряд Фурье, если дана четная функция?

4. Как изменится ряд Фурье, если дана нечетная функция?

5. Каков алгоритм разложения функций в ряд Фурье?

 

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 409 – 428.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 225 – 228.

 

Практическое занятие № 12