Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов

Цель: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности , , и используя замечательные пределы.

Пояснения к работе

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции ƒ(x) при , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при . Запись .

Если предел функции в точке существует, то он единственный.

Аналогично, , если при .

Функцию называют бесконечно большой при , если .

Функцию называют бесконечно малой при , если .

Если функция ƒ(x) – бесконечно малая, то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(x) – бесконечно большая, то - бесконечно малая.

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют, тогда ;

; .

Теорема 2. Предел многочлена в точке равен значению этого многочлена в точке , т. е. .

Вычислить пределы:

1. .

2. . Здесь пределы числителя и знаменателя равны 0, т. е. мы получили неопределенность . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Числитель разложим на множители по формуле , где и корни уравнения . Знаменатель разложим на множители по формуле . .

3. . При числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, т. е. дана неопределенность . Раскрывают такую неопределенность делением числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной знаменателя, в данном случае на . .

Замечательные пределы позволяют раскрыть неопределенности и .

Первый замечательный предел: или .

Второй замечательный предел: или .

Вычислить пределы функций:

1. .

2. . Решение. Обозначим , тогда . Если , то , а значит .

.

3. Решение. Сделаем замену переменной, полагая , тогда при и . Следовательно, .

4. Решение. Обозначим , тогда . Если , то , а значит .

.

Здесь использовали свойство предела. «Пусть дана функция ƒ(φ(х)), причем функция ƒ - непрерывная на множестве значений функции у = φ(х), тогда ».

Задание.

Вариант 1.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ;

б) .

Вариант 2.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 3.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 4.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 5.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Вариант 6.

Задача 1. Найдите пределы функций: а) ; б) ; в) .

Задача 2. Примените замечательные пределы для нахождения пределов функций: а) ; б) .

Содержание отчёта

Отчёт о проделанной работе должен содержать:

- название темы практического занятия;

- цели практического занятия;

- условие задачи;

- подробное решение задачи;

- ответ.

Контрольные вопросы

1. Какая существует связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями?

2. Как раскрывают неопределенности ?

3. Какими теоремами о пределах вы пользовались при вычислении пределов?

4. Какие неопределенности помогают раскрыть замечательные пределы?

 

Литература:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: «Высшая школа» 2002. с. 75 – 83.

2. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. Математика. - Ростов-на-Дону: «Феникс» 2011.- с. 73 – 85.

Практическое занятие № 3