Установленные для данной системы Разрядная сетка и правило записи в ней двоичных чисел, называется форматом.

Для хранения чисел используются различные форматы: слово - с числом разрядов 32, полуслово - с числом разрядов 16, полуторное слово - с числом разрядов 48 и т.д.

Один разряд формата, как правило, старший, используется в качестве знакового, а остальные - для представления абсолютного значения числа. При этом знак "+" кодируется нулём, а знак "-" - единицей.

В формате числа могут быть представлены в одной из двух форм: с фиксированной или плавающей точкой. Рассмотрим эти формы, начиная с первой.

 

1). Представление чисел с фиксированной точкой (естественная форма представления чисел).

В этом случае точка, отделяющая целую часть числа от дробной может занимать одно из двух положений.

· Если точка расположена перед старшим разрядом, то абсолютное значение чисел меньше 1 и разрядная сетка предназначена для представления только их дробной части. При этом заполнение разрядной сетки начинается со старшего разряда. Формат представления таких чисел имеет вид:

Очевидно, что при n-разрядном формате можно

2⁰ 2^-1 2^-2 2^-n представить абсолютные значения дробных деся-

Х Х_n-1 X_n-2... X₀ тичных чисел в диапазоне от 0 до (1 - 2^-n)), где

Знак Абс. значение n - разрядная сетка без учёта знакового разряда.

 

· Если же точка фиксируется после младшего разряда, то абсолютное значение чисел больше или равно 1 и разрядная сетка предназначена для представления только их целой части. При этом заполнение разрядной сетки начинается с младшего разряда. Формат представления таких чисел имеет вид:

2ⁿ 2^n-1 2^n-2 2⁰ Очевидно, что при n-разрядном формате можно

X X_n-1 X_n-2... X₀ представить абсолютные значения целых десятич-

Знак Абс. значение ных чисел в диапазоне от 0 до (2ⁿ - 1).

 

При использовании формы с фиксированной точкой, как исходные данные, так и результаты их обработки должны быть всегда либо меньше 1, либо, наоборот, не меньше 1. Тогда для исключения ошибки необходимо предвидеть результаты обработки данных и соответствующим образом масштабировать их, т.е. умножать или делить на определённые коэффициенты. Однако прогнозировать результаты зачастую невозможно, поэтому необходимость в масштабировании является основным недостатком формы с фиксированной точкой.

 

2). Представление чисел с плавающей точкой.

В этом случае числа представляются в показательной форме: N = M*E^P, где М - мантисса числа, Р - порядок, а Е - основание системы счисления. М, Р и Е являются числами и записываются они символами данной системы счисления.

Например, десятичное число 6.73 в показательной форме будет иметь вид 673*10^-2 или 0.673*10¹. Аналогично запишется и двоичное число 11.01: 0.1101*10¹⁰ или 1101*10^-10

Отсюда видно, что абсолютное значение порядка равно числу разрядов, на которое смещена точка в изображении числа. Знак же порядка определяет направление смещения точки. Таким образом, с изменением значения порядка точка меняет своё положение, как бы "плавает" в изображении числа. Этим и определяется название формы.

В формате кодового слова двоичное число с плавающей точкой размещается, например, следующим образом:
Знак мантиссы При этом порядок всегда
P P_k-1 P_k-2... P₀ M M_n-1 M_n-2...M₀ число целое и записыва-

Знак порядка Абс. знач. пор. Абс. знач. ман. ется в формате по пра -
вилу записи целых чисел, а мантисса - по правилу дробных чисел.

 

Определим теперь диапазон десятичных чисел, которые могут быть обработаны системой при использовании формы с плавающей точкой.

Пусть К - число двоичных разрядов, отведённых для представления абсолютного значения порядка. Тогда минимальное двоичное число содержит (2^К - 1) нулей перед первой значащей единицей
N_min2 = 0.00...01 и в форме с плавающей точкой имеет вид:

2^k-1 N_min2 = 0.100...0*10^-11...1

где порядок состоит из К единиц. 2^k-1
Запишем это число в десятичной системе счисления: мантисса М равна 1/2 (действительно, 1000 соответствует 8-ми, его половина 0100 - четырём и т.д.), основание Е = 2, а порядок Р = -(2^К - 1). В результате получаем:
N_min10 = (1/2)2 = .
Максимальное двоичное число содержит (2^К - 1) единиц N_max2 = 11...1 и в форме с плавающей точкой имеет вид: N_max2 = 0.11...1*10^11...1. Запишем это число в десятичной системе счисления: мантиссу можно принять равной 1, основание Е = 2, а порядок Р = 2^К - 1. В результате получаем: N_max10 = .

 

Таким образом, достоинством формы с плавающей точкой является значительное расширение диапазона обрабатываемых чисел.

Недостаток её в сложности реализации арифметических и других операций, что снижает быстродействие и усложняет структуру цифровой системы.

Поэтому форма с плавающей точкой применяется в универсальных ЭВМ, а с фиксированной точкой - в специализированных.

ЛЕКЦИЯ 2

1.4. Арифметические операции над числами с фиксированной точкой.

Мы рассмотрим только операции сложения и вычитания. Обусловлено это двумя причинами: во-первых, эти операции имеют самостоятельное значение; во-вторых, они лежат в основе операций умножения и деления.

1). Сложение двух двоичных чисел производится по тому же правилу, что и сложение десятичных чисел: а) сложение производится поразрядно, начиная с младших разрядов; б) если сумма S_i чисел в i-ом разряде превышает или равна основанию Е системы счисления, то в этот разряд записывается разность S_i - E, а в следующий, более старший разряд, переносится 1 в виде дополнительного слагаемого.

 

Например, 1+1=2. Значит в младший разряд записывается 2-2=0, а в следующий разряд переносится 1 в качестве дополнительного слагаемого. Далее,
1 1 1 1 1+1+0=2 и в первый разряд записывается 0, а в следующий перено-
1 0 1 1 сится 1. В следующем разряде результаты аналогичны. Наконец, в
1 1 0 1 старшем разряде записывается 1, поскольку 1+1+1=3 и 3-2=1, а в
1 1 0 0 0 следующий разряд переносится 1.
Как видно, при сложении разрядность результата может превышать разрядность слагаемых. Об этой особенности всегда надо помнить.

2). Вычитание двоичных чисел для удобства технической реализации заменяется сложением. С этой целью числа представляются либо в обратном, либо в дополнительном коде. Эти коды имеют смысл только применительно к отрицательным числам, поскольку как обратный, так и дополнительный код положительного числа, есть само это число.