Лом 1 и называется единицей, а элемент, симметричный к a , является об-

Ратным к a и записывают как

1 a 

, при этом

1aa1 или

1 aa   1;

(2) знака сложения ; тогда говорят о сложении элементов из группы;

группу называют аддитивной и обозначают ()G, ; нейтральный элемент

Вводится символом 0 и называют его нулем, а элемент, симметричный к,a

является противоположным к a и обозначают a . Таким образом,

Подмножество H группы G, само являющееся группой относительно

Операции, определяющей G, называется подгруппой и является таковой

Тогда и только тогда, когда: (1) H содержит единичный элемент из G; (2)

Содержит произведение любых двух элементов из H; (3) со всяким элемен-

Том h содержит обратный к нему элемент

1 h 

.

Являющихся одним из способов представления групповых операций.

Конечные группы удобно задавать в форме таблиц Кэли, являющихся од-

Ним из способов представления групповых операций.

24. Таблица Кэли — таблица, которая описывает структуру конечных алгеб-

Раических систем путем расположения результатов операции в таблице,

Напоминающей таблицу умножения.

25. Конечной мультипликативной группой ()G,  вычетов по модулю m назы-

Вается мультипликативная группа обратимых элементов множества выче-

Тов по модулю m.

26. Групповая операция в мультипликативной группой (G,) обозначается как

умножение; число n элементов g конечной группы () G, определяет её по-

Рядок; нейтральный элемент вводится символом 1 и называется единицей.

27. Порядок ord элемента g конечной группы () G, порядка n определяется

Как минимальное натуральное число k такое, что (mod) () 1 k k

n g n  g .

28. Порядок любого элемента g группы ()G,  является делителем порядка

группы, то есть ord(g) | ord((G,)).

29. Любой элемент g конечной группы (G,) порядка n удовлетворяет соот-

Ношению () 1 n

n g .

30. Элемент g, из степеней которого составлена некоторая группа ()G, ,

Называется образующим (порождающим, примитивным) элементом этой

Группы.

31. Группа (G,), образуемая степенями одного примитивного элемента g,

называется циклической группой и обозначается как g.

32. Существуют группы ()G, , которые порождаются не одним, а несколькими

Элементами.. Тем самым на смену понятию одного образующего элемента

Приходит понятие «системы образующих элементов».

33. Некоторое множество S элементов группы () G, называется системой

образующих этой группы, если всякий элемент g группы ()G,  есть произ-

Ведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть эле-

Мент s множества S, либо является обратным некоторому элементу s мно-

Жества S.

34. У циклической группы порядка n существует ровно ()n  порождающих

элементов, где  — функция Эйлера.

35. Все элементы z множества p Z  по модулю простого числа p обладают

мультипликативно обратными значениями, причем 1 11  и

1 (p 1) (p 1)    .

36. Мультипликативная группа вычетов m Z  может быть образована только

по модулю простого числа m  p, так как если m окажется составным чис-

лом, то во множестве m Z  найдется хотя бы один элемент z, не являющийся

Взаимно простым с m, и, как следствие, этот элемент не будет иметь об-

Ратного значения, что противоречит третьей аксиоме группы: любой эле-

мент z из m Z  имеет обратный элемент 1

m z Z   .

Кольцо — это произвольное множество R, на котором заданы бинарные

операции обратимого сложения (то есть операции , –) и умножения.

Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение,

Вычитание и умножение чисел, называют числовым кольцом.

Поле — наиболее абстрактное понятие в математике и составляет алгебру

F, для элементов которой определены все четыре арифметические опера-

Ции (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль),

Причем свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых

Операций.

Конечные поля, называемые полями Галуа, содержат конечное число q

элементов и обозначаются () GF q. Если qp, где p  простое число, то

Поле называется простым полем Галуа и обозначается как () GF p или p F.

Если nqp, 1 n , то поле называется расширенным полем Галуа и обо-